ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ∆ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    ∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
    του
    
    Ευθύµιου Α. Κάλλου
    
    Επιβλέπων :
    
    Νικόλαος Ουζούνογλου Καθηγητής ΕΜΠ
    
    Αθήνα, Ιούνιος 2003µΧ
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    2
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑ∆ΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    ∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
    του
    
    Ευθύµιου Α. Κάλλου
    
    Επιβλέπων :
    
    Νικόλαος Ουζούνογλου Καθηγητής ΕΜΠ
    
    Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή τον Ιούνιο 2003.
    
    ………………………….
    Νικόλαος Ουζούνογλου Καθηγητής ΕΜΠ
    
    ………………………….
    ∆ήµητρα – Θεοδώρα Κακλαµάνη Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ
    
    ………………………….
    Κωνσταντίνα Νικήτα Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ
    
    Αθήνα, Ιούνιος 2003µΧ
    
    3
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    …………………………………………………………….
    
    Ευθύµιος Α. Κάλλος ∆ιπλωµατούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ
    ekall@cslab.ntua.gr
    © 2003 – All rights reserved
    
    4
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Περίληψη
    
    Όταν ένα φορτισµένο σωµατίδιο κινείται παράλληλα προς µία περιοδική διάταξη, τότε ακτινοβολείται ενέργεια υπό τη µορφή ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Η ακτινοβολία αυτή οφείλεται στην αλληλεπίδραση του πεδίου του φορτισµένου σωµατιδίου (όπως για παράδειγµα ενός ηλεκτρονίου) µε την περιοδική δοµή της διάταξης, και υπάγεται σε µία γενικότερη τάξη φαινοµένων ακτινοβολίας η οποία προκαλείται δια της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίων µε κάποιο µέσο. Η ενέργεια διαφεύγει υπό ορισµένη γωνία σε σχέση µε τη διεύθυνση κίνησης του ηλεκτρονίου, γωνία η οποία εξαρτάται από τη συχνότητά του. Έτσι διαφορετικές συχνότητες εκπέµπουν την ενέργεια υπό διαφορετικές γωνίες. Το φαινόµενο αυτό προβλέφθηκε για πρώτη φορά από τον Frank το 1942 και παρατηρήθηκε πειραµατικά το 1953 από τους Smith και Purcell. Στην εργασία αυτή µελετάται θεωρητικά η διάταξη που αποτελείται από ένα διηλεκτρικό κυµατοδηγό (πλάκα) ορισµένου πάχους, µε ηµιτονοειδή περιοδικότητα όσον αφορά τη µία του επιφάνεια. Μία γραµµή ρεύµατος κινείται παράλληλα προς τη διεύθυνση της περιοδικότητας και σε µικρή απόσταση από αυτή, διεγείροντας ρυθµούς στο εσωτερικό του διηλεκτρικού κυµατοδηγού. Οι ρυθµοί αυτοί είναι περιοδικοί και ακολουθούν την περιοδικότητα της διάταξης. Λύνονται τόσο το οµογενές πρόβληµα (χωρίς τη ρευµατική διέγερση) ώστε να βρεθούν η εξίσωση διασποράς και οι σταθερές διάδοσης του κυµατοδηγού αυτού, όσο και το µη οµογενές πρόβληµα όπου υπολογίζεται η συνάρτηση Green για µοναδιαία διέγερση. Η επίλυση γίνεται αναλυτικά µε τη χρήση του θεωρήµατος του Floquet για χωρικά περιοδικές δοµές, την εύρεση λύσεων της εξίσωσης του Helmholtz, και την εφαρµογή οριακών συνθηκών συνέχειας για την εύρεση των άγνωστων συντελεστών που εµφανίζονται. Τα αποτελέσµατα υπολογίζονται αριθµητικά µε τη χρήση της Matlab και σχεδιάζονται τα ηλεκτροµαγνητικά πεδία και το διάνυσµα ισχύος Poynting σε όλο χώρο. Μέσω του διανύσµατος Poynting εξάγονται συµπεράσµατα για τη γωνία ακτινοβολίας σε σχέση µε τη συχνότητα. Τα υπολογιστικά προγράµµατα είναι παραµετροποιήσιµα ως προς τη συχνότητα της διέγερσης, την ταχύτητα κίνησης και όλες τις γεωµετρικές παραµέτρους της διάταξης. Τέλος η τεχνική αυτή µπορεί άµεσα να χρησιµοποιηθεί για οποιαδήποτε περιοδική διάταξη και όχι µόνο για ηµιτονοειδή.
    
    5
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    6
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Abstract
    
    When a charged particle propagates parallel to a periodic structure, energy is radiated in the form of an electromagnetic wave. This type of radiation is caused due to the interaction of the charged particle’s field (such as an electron) with the periodicity of the structure, and belongs to a wide category of phenomena which arise through the interaction of electrons with a medium. The energy radiates under a specific angle with regard to the line of propagation, an angle which depends on the frequency of the particle. So, different frequencies radiate the energy into different angles. This phenomenon was predicted by Frank in 1942 and was experimentally observed in 1953 by Smith and Purcell. Here we study theoretically the structure which consists of a dielectric waveguide (slab) of specific width, with a sinusoidal periodicity with regard to one of its surfaces. A line current moves parallel to the direction of periodicity and in short distance from it, which causes waves to arise inside the waveguide. These waves are periodical following the period of the structure. We solve both the homogenous problem (without the source line) and we find the dispersion relation and the propagation factors of the waveguide, as well as the non homogenous problem where the Green function is derived. We use the Floquet theorem for periodic structures, find solutions to the Helmholtz equation, and then apply boundary conditions of continuity to find the unknown coefficients. The results are calculated arithmetically using Matlab; we draw the electromagnetic fields and the power Poynting vector everywhere in space. Through Poynting vector we derive conclusions about the angle of radiation with respect to frequency. The computer programs are parameterized with respect to the frequency, the geometrical features of the structure and the speed of the source line. Finally, this technique is not limited to sinusoidal structures but applies in any periodic one.
    
    7
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    8
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Περιεχόµενα ∆ιατύπωση του προβλήµατος Κατάστρωση εξισώσεων 1.1 Κατάστρωση εξισώσεων 1.2 Εφαρµογή του θεωρήµατος του Floquet Το οµογενές πρόβληµα 2.1 Το οµογενές πρόβληµα 2.2 Οριακές συνθήκες 2.3 Αναγωγή στον απλό κυµατοδηγό 2.4 Σύνοψη κεφαλαίου Το οµογενές πρόβληµα - Συµπεράσµατα 3.1 Εύρεση της εξίσωσης διασποράς 3.2 Αριθµητική προσαρµογή 3.3 Matlab 3.4 Συµπεράσµατα Το µη οµογενές πρόβληµα 4.1 Το µη οµογενές πρόβληµα 4.2 Οριακές συνθήκες 4.3 Σύνοψη κεφαλαίου Το µη οµογενές πρόβληµα - Συµπεράσµατα 5.1 Εύρεση των άγνωστων συντελεστών 5.2 Αριθµητική προσαρµογή 5.3 Matlab 5.4 Συµπεράσµατα Παράρτηµα 1 : Παράρτηµα Χ: Κώδικας Οι µεταβλητές
    
    9
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    In the beginning, the Universe was created. This has made a lot of people very angry, and has been widely regarded as a bad move. The Hitch Hiker's Guide to the Galaxy
    
    10
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    ∆ιατύπωση του προβλήµατος
    Θεωρούµε έναν διηλεκτρικό κυµατοδηγό µε δείκτη διάθλασης n1 ο οποίος βρίσκεται σε χώρο µαγνητικά αδρανή µε δείκτη διάθλασης n0. Εισάγουµε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων (x,y,z). Ο κυµατοδηγός έχει άπειρη έκταση ως προς τη διεύθυνση y και το σύστηµα δεν παρουσιάζει µεταβολή των πεδιακών µεγεθών ως προς τη διεύθυνση αυτή, δηλαδή ισχύει
    
    ∂ =0 ∂y
    
    (1.1)
    
    Εξαιτίας της συµµετρίας αυτής το πρόβληµα ανάγεται σε δύο διαστάσεις. Όλα τα µεγέθη θα είναι εποµένως συναρτήσεις των χωρικών µεταβλητών x και z, και από εδώ και στο εξής θα αναφερόµαστε σε δισδιάστατη γεωµετρία. Επίσης ο κυµατοδηγός είναι άπειρος κατά τη διεύθυνση z, διεύθυνση κατά την οποία εµφανίζει περιοδικότητα µε συχνότητα Λ και περίοδο L, ώστε
    Λ= 2π L
    (1.2)
    
    Ο κυµατοδηγός έχει πάχος d. Το µέσον του βρίσκεται στην ευθεία x=0 και η κάτω του επιφάνεια στο επίπεδο x=-d/2. Η πάνω επιφάνεια του κυµατοδηγού έχει περιοδική µορφή µε κέντρο την ευθεία x=+d/2 και έχει κάποια εξάρτηση f(z) µε περίοδο L, δηλαδή αποτελείται από τα σηµεία
    x= d + ε fL (z) 2
    (1.3)
    
    Το πλάτος ε της χωρικής περιόδου καθορίζει την ένταση της περιοδικότητας: για ε=0 επανερχόµαστε στην περίπτωση της κλασικής διηλεκτρικής πλάκας, ενώ η µέγιστη τιµή που θεωρούµε ότι µπορεί να πάρει το πλάτος είναι d/2. H συνάρτηση fL(z) περιέχει την ακριβή πληροφορία για την ασυνέχεια. Στις εξισώσεις δεν θα χρησιµοποιηθεί συγκεκριµένη µορφή για την fL(z), µόνο στο τέλος θα τη θεωρήσουµε ηµιτονοειδή ώστε να εξάγουµε αριθµητικά αποτελέσµατα. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις η περιοδική πάνω επιφάνεια µπορεί να γραφεί στη µορφή ενός διαµορφωµένου περιοδικού σήµατος, µε δείκτη διαµόρφωσης M:
    d 1 + M fL (z )  2
    
    x=
    
    (1.4)
    
    όπου ισχύει 0 ≤ M ≤ 1 . Οι (1.3) και (1.4) συνδέονται µε τη σχέση
    ε=M d 2
    
    11
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Σε απόσταση δ από την περιοδικότητα, δηλαδή πάνω στην ευθεία x=d/2+δ, κινείται παράλληλα µε τον άξονα z και µε ταχύτητα υ µία γραµµή ρεύµατος έντασης Ι0 η οποία εκτείνεται άπειρα κατά τη διεύθυνση y. Η άπειρη αυτή γραµµή ρεύµατος αντιστοιχεί στο σηµειακό φορτισµένο σωµατίδιο. Η γεωµετρία αυτή φαίνεται στο επόµενο σχήµα.
    
    Σχήµα 1.1 Το προς επίλυση πρόβληµα. Ένας διηλεκτρικός κυµατοδηγός ο οποίος έχει περιοδικής µορφής πάνω επιφάνεια, διεγείρεται από µια γραµµή ρεύµατος η οποία κινείται παράλληλα σε αυτόν µε µεγάλη ταχύτητα.
    
    Θα θεωρήσουµε πως η διέγερση τη χρονική στιγµή t=0 βρίσκεται στο σηµείο z=0. Έτσι το ρεύµα αυτό µπορεί να θεωρηθεί επιφανειακό στο επίπεδο x=d/2+δ και έτσι να γραφεί στη µορφή ˆ J s (z, t) = y I 0 δ ( z − υt ) όπου εµφανίζεται η συνάρτηση δέλτα του Dirac.
    (1.5)
    
    12
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Imagination is more important that knowledge Albert Einstein
    
    Κεφάλαιο 1 Κατάστρωση Εξισώσεων
    Στο κεφάλαιο αυτό ξεκινούµε από τις εξισώσεις του Maxwell και τις λύνουµε για ρυθµούς ΤΜ, εφαρµόζοντας µετασχηµατισµούς fourier και ενσωµατώνοντας τις γεωµετρικές παραµέτρους της διάταξης. Με τη βοήθεια του θεωρήµατος του Floquet για περιοδικές δοµές εξάγουµε τις µορφές των πεδίων σε όλο το χώρο της διάταξης, ως επαλληλία των δυνατών ρυθµών κυµατοδήγησης.
    
    13
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    1.1 Κατάστρωση εξισώσεων
    Θα ξεκινήσουµε φυσικά γράφοντας τις εξισώσεις του Maxwell για χώρο µε διηλεκτρική σταθερά ε:
    
    rot E = −µ 0
    
    ∂H ∂t ∂E ∂t
    
    rot H = J + ε ρ ε
    
    div E =
    
    div Η = 0
    
                    
    
    (1.6)
    
    Ο δείκτης διάθλασης n σχετίζεται µε τη διηλεκτρική σταθερά µε τη σχέση
    η= ε ε0
    (1.7)
    
    όπου ε0 η διηλεκτρική σταθερά του κενού χώρου. Επειδή ενδιαφερόµαστε για την ηµιτονοειδή µόνιµη κατάσταση, θα εφαρµόσουµε µετασχηµατισµό Fourier ως προς τη χρονική µεταβλητή t, σύµφωνα µε τη σχέση
    F(x, z, ω) = ∫ F(x, z, t)e − jωt dt
    (1.8)
    
    όπου η συνάρτηση F συµβολίζει οποιοδήποτε πεδιακό µέγεθος. Έτσι µπορούµε να απλοποιήσουµε τις σχέσεις (1.6) αντικαθιστώντας όπου
    ∂ → + jω ∂t
    
    οπότε και προκύπτει
    
    14
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    rot E = − jωµ 0 H rot H = J + jωεE div E = ρ ε
    
    div Η = 0
    
                  
    
    (1.9)
    
    Ο µετασχηµατισµός αυτός διευκολύνει την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell αφού απαλείφεται η χρονική παράγωγος και έτσι γίνεται απλούστερη η αποσύµπλεξή τους. Φυσικά πρέπει και η σχέση (1.5) της διέγερσης να µετασχηµατιστεί µε αυτόν τον τρόπο:
    ˆ J s (z, ω) = ∫ y I 0 δ ( z − υt ) e − jωt dt = ˆ y I 0 ∫ δ ( z − υt ) e − jωt dt
    
    Για να χρησιµοποιήσουµε τη γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης δέλτα
    
    ∫ f (q)δ(q − q
    
    0
    
    )dq = f (q 0 )
    
    (1.10)
    
    πραγµατοποιούµε την αλλαγή µεταβλητής z − υt = q , t =
    − jωt ∫ δ ( z − υt ) e dt =
    z q − jω + jω 1 δ ( q ) e υ e υ dt υ∫
    
    z−q dq , dt = − οπότε και έχουµε υ υ
    
    =
    
    z q + jω 1 − jω υ e δ ( q ) e υ dt ∫ υ
    
    =
    
    z 1 − jω υ e υ
    
    εποµένως
    z I 0 − jω υ e υ
    
    ˆ J s (z, ω) = y
    
    (1.11)
    
    δηλαδή φασµατικά προκύπτει ένα ρεύµα σταθερού µέτρου το οποίο εκτείνεται οµοιόµορφα σε όλη τη z διάσταση. Αυτό είναι αναµενόµενο αφού χρονικά η διέγερση είναι εστιασµένη σε ένα µόνο σηµείο στο χώρο, εποµένως φασµατικά περιµένουµε να εκτείνεται σε όλο το εύρος του. Για να αποπλέξουµε τις εξισώσεις (1.9), παρατηρούµε καταρχάς πως στο πρόβληµά µας δεν έχουµε χωρικά ρεύµατα J ή χωρικά φορτία ρ , παρά µόνο το ρεύµα της διέγερσης το οποίο θα εισαχθεί στις εξισώσεις µέσω των οριακών συνθηκών. Εφαρµόζοντας τη συνάρτηση rot στην πρώτη εξίσωση της (1.9) παίρνουµε
    
    15
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    rot rotE = − jωµ 0rotH
    αντικαθιστώντας στη παραπάνω σχέση τη δεύτερη σχέση από τις (1.9),
    
    (
    
    )
    
    (1.12)
    
    rot H = jωεE
    και λαµβάνοντας υπόψη τη διανυσµατική ταυτότητα
    
    rot rotE = grad divE − ∇ 2 E
    όπου
    ∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 ∂x 2 ∂y ∂z
    
    (
    
    )
    
    (
    
    )
    
    (1.13)
    
    (1.14)
    
    τότε η (1.12) γίνεται
    
    grad divE − ∇ 2 E = ω2µ 0 εΕ
    Όµως αφού δεν υπάρχουν χωρικά φορτία ισχύει
    divE = ρ =0 ε
    
    (
    
    )
    
    (1.15)
    
    και ορίζοντας k 0 = Helmholtz:
    
    ω = ω ε 0µ 0 , τότε χρησιµοποιώντας και την (1.7) προκύπτει η εξίσωση του c
    
    2 ∇ 2 E + k 0 η2 E = 0
    
    (1.16)
    
    Στο σηµείο αυτό θα εισάγουµε µία ακόµα παραδοχή: θα λύσουµε την εξίσωση (1.16) µόνο για κύµατα ΤΜ, δηλαδή για τις συνιστώσες ( Ey , H x , H z ) του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Οι
    
    συνιστώσες αυτές προκύπτουν ανεξάρτητα από τις συνιστώσες ( H y ,Ex ,Ez ) στο συγκεκριµένο
    
    πρόβληµα διότι θα υποθέσουµε διάδοση προς τον άξονα z. Αφού υπολογιστούν τα ΤΜ κύµατα, τότε τα κύµατα ΤΕ µπορούν να βρεθούν άµεσα αν στις λύσεις τοποθετήσουµε τις εναλλαγές
    
    16
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    ε↔
    
    1 µ0
    
    E↔H
    
    Έτσι η εξίσωση (1.16) γίνεται βαθµωτή ως προς τη συνιστώσα Ey και γράφεται αναλυτικά
    
     ∂2 ∂2  2 + 2  E y + k 0 η2 E y = 0 2 ∂x ∂z  
    
    (1.17)
    
    Η εξίσωση αυτή πρέπει να λυθεί σε κάθε περιοχή του χώρου ξεχωριστά, και στη συνέχεια να εφαρµοσθούν οι οριακές συνθήκες. Οι λύσεις που επιδέχεται η (1.17) δεν είναι τόσο προφανείς διότι η επιφάνεια πάνω στη οποία οι συναρτήσεις πρέπει να είναι συνεχείς είναι περιοδική. Οι συναρτήσεις αυτές θα είναι ειδικής µορφής και θα εκφράζονται σαν επαλληλία των δυνατών ρυθµών τους οποίους µπορεί να κυµατοδηγήσει η διάταξη. Οι ρυθµοί αυτοί περιµένουµε να σχετίζονται µε τους ρυθµούς που κυµατοδηγούνται στην ιδανική πλάκα (για Μ=0) αλλά ταυτόχρονα θα πρέπει να συνδέονται και µε την περιοδικότητα της διάταξης. Στο όριο όπου Μ=0 οι δύο λύσεις θα πρέπει προφανώς να ταυτίζονται.
    
    17
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    1.2 Εφαρµογή του θεωρήµατος του Floquet
    Μια αρχική ιδέα για το πώς πρέπει να γραφούν τα πεδιακά µεγέθη τα οποία θα ικανοποιούν την Helmholtz (1.17) είναι να θεωρήσουµε όλους τους δυνατούς ρυθµούς διάδοσης β ως προς τη διεύθυνση z. Με άλλα λόγια µία πρώτη προσέγγιση προτρέπει να µετασχηµατίσουµε τα πεδία κατά Fourier ως προς τη z συνιστώσα, ώστε να προκύψει ένα συνεχές φάσµα τιµών για τις σταθερές διάδοσης β. Αυτή είναι η πιο γενική τακτική που µπορεί να εφαρµόσει κανείς καθώς συµπεριλαµβάνει όλους τους δυνατούς ρυθµούς διάδοσης. Τότε η συνιστώσα Ey του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου θα πρέπει να γραφεί στη µορφή
    +∞
    
    Ε y (x, z) =
    
    −∞
    
    ∫
    
    A(x, β )e + jβz dβ
    
    (1.18)
    
    Θα πρέπει ταυτόχρονα βέβαια να µετασχηµατίσουµε µε βάση αυτή τη σχέση και την εξίσωση (1.11) που περιγράφει τη ρευµατική διέγερση, ένας µετασχηµατισµός ο οποίος θα οδηγήσει σε δέλτα συνάρτηση ως προς το z (χρησιµοποιώντας βασικές ιδιότητες µετασχηµατισµού fourier της συνάρτησης δέλτα). Τότε θα περιµένουµε ότι εφαρµόζοντας της οριακές συνθήκες να εµφανιστεί στο δεξί µέλος του µη οµογενούς συστήµατος που θα προκύψει ως προς τις συναρτήσεις Α(x,β) µια σειρά (άθροισµα) από συναρτήσεις δέλτα (αυτό δεν είναι καθόλου προφανές σε αυτό το σηµείο, καθώς βασιζόµαστε µονάχα στη διαίσθηση για να το προβλέψουµε. Όµως µία αναλυτική αντιµετώπιση οδηγεί σε αυτό ακριβώς το συµπέρασµα. Η ακριβής διαδικασία θα φανεί στη συνέχεια) . Φυσικά αυτό µπορεί να επαληθεύεται µόνο αν οι λύσεις που αναζητούµε έχουν και αυτές τη µορφή της διέγερσης, δηλαδή άθροισµα συναρτήσεων δέλτα ως προς τη µεταβλητή β. Όµως από τη θεωρία του µετασχηµατισµού fourier γνωρίζουµε πως ότι άθροισµα δέλτα συναρτήσεων στη συχνότητα είναι στην πραγµατικότητα συνεχείς µετασχηµατισµοί fourier περιοδικών συναρτήσεων στο χώρο. Το γεγονός αυτό υποδεικνύει πως οι συναρτήσεις οι οποίες πρέπει να αναζητηθούν σαν λύσεις της εξίσωσης Helmholtz (1.17) είναι τελικά περιοδικές συναρτήσεις ως προς τη χωρική µεταβλητή z, οι οποίες έχουν συνεχή µετασχηµατισµό fourier άθροισµα δέλτα συναρτήσεων ως προς τη φασµατική µεταβλητή β. Το συµπέρασµα αυτό δεν είναι παράλογο διότι η οριακή συνθήκη (αίτιο) που επιβάλλουµε στην (1.17) έχει περιοδική µορφή: είναι αρκετά λογικό και οι λύσεις της (αποτέλεσµα) να έχουν και αυτές περιοδικότητα, και µάλιστα µε περίοδο ίση µε την περίοδο του αιτίου. Εποµένως αντί της σχέσης (1.18), η οποία είναι µετασχηµατισµός fourier ως προς z µε τη συνεχή µεταβλητή β, είναι αποδοτικότερο να χρησιµοποιήσουµε διακριτό µετασχηµατισµό fourier ως προς z εισάγοντας τη διακριτή µεταβλητή n:
    e y (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    A n (x)e
    
    −j
    
    2π nz L
    
    (1.19)
    
    Στην παραπάνω σχέση η συνάρτηση ey είναι βέβαια ορισµένη σε µία περίοδο, δηλαδή το z ανήκει σε ένα οποιοδήποτε διάστηµα [ κL , (κ+1)L ] όπου το κ είναι ακέραιος. Οι συναρτήσεις An(x) είναι κατάλληλες ώστε να ικανοποιείται συνολικά η εξίσωση Helmholtz (1.17). Η παραπάνω γραφή των αποτελεί µία λύση της (1.17) σε µία περίοδο. Τι συµβαίνει όµως µε τον υπόλοιπο χώρο; Ποιες είναι οι λύσεις της (1.17) σε όλο τον υπόλοιπο χώρο; Για να
    
    18
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε το θεώρηµα του Floquet. Η βάση του θεωρήµατος αυτού είναι µαθηµατική και απορρέει από τη θεωρία επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Η βασική ιδέα είναι η εξής. Όταν πρέπει να λυθεί σε όλο το χώρο (από -∞ έως +∞) µία διαφορική εξίσωση η οποία έχει είτε περιοδικούς συντελεστές είτε περιοδικές συνοριακές συνθήκες, τότε αρκεί µόνο να βρει κανείς τις λύσεις της ίδιας εξίσωσης σε µία περίοδο. Οι λύσεις αυτές θα είναι περιοδικές συναρτήσεις. Στη συνέχεια οι λύσεις στον υπόλοιπο χώρο µπορούν να βρεθούν άµεσα αν οι αρχικές περιοδικές λύσεις πολλαπλασιαστούν µε µία φάση, µε εκθέτη τη σταθερά διάδοσης του προβλήµατος η οποία καθορίζει τη διάδοση των λύσεων στις υπόλοιπες περιόδους. Εφαρµόζοντας το θεώρηµα του Floquet στο πρόβληµά µας, η συνιστώσα Ey σε κάθε σηµείο του χώρου µπορεί να γραφεί
    Ey (x, z) = e y (x, z)e − jβ0 z
    (1.20)
    
    όπου η συνάρτηση ey είναι περιοδική µε περίοδο ίση µε τη χωρική περίοδο L, δηλαδή ισχύει
    
    e y (x, z + κL) = e y (x, z)
    
    (1.21)
    
    Αναπτύσσοντας στη συνέχεια τη συνάρτηση ey σύµφωνα µε την (1.19), προκύπτει για το πεδίο σε όλο το χώρο
    Ey (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑A
    
    +∞
    
    n
    
    (x)e
    
    −j
    
    2π nz L
    
    e − jβ0 z
    
    (1.22)
    
    ή ακόµα ισοδύναµα
    +∞
    
    Ey (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑A
    
    n
    
    (x)e − jβn z
    
    βn = β 0 +
    
    2π n L
    
    (1.23)
    
    Η σχέση (1.23) καθορίζει τη µορφή του πεδίου στο χώρο, και είναι µία µορφή στην οποία έχει ουσιαστικά επιβληθεί η απαίτηση για περιοδικότητα της διάταξης. Ας αναλύσουµε τώρα καλύτερη τη σχέση αυτή για να εξαγάγουµε συµπεράσµατα για τη φυσική κατανόηση του προβλήµατος. Οι λύσεις Floquet, όπως αυτές περιγράφονται στην (1.23), καθορίζουν ότι το πεδίο είναι επαλληλία απείρων κυµάτων – ρυθµών, ρυθµοί οι οποίοι είναι διακριτοί και σχετίζονται µε περιοδικό τρόπο, διότι περιοδική είναι και η διάταξη. Υπάρχει ένας βασικός ρυθµός, ο β0 , ο οποίος είναι ο εγγενής ρυθµός του κυµατοδηγού, δηλαδή ο ρυθµός ο οποίος θα διαδιδόταν αν δεν υπήρχε η περιοδικότητα (περίπτωση όπου Μ=0). Ο β0 περιµένουµε να είναι ένας ρυθµός πολύ κοντά στο ρυθµό του ιδανικού κυµατοδηγού ο οποίος προκύπτει για Μ=0. Στη συνέχεια, η χωρική περιοδικότητα προκαλεί την εµφάνιση επιπλέον ρυθµών οι οποίοι είναι περιοδικές µετατοπίσεις του βασικού ρυθµού β0. Οι ρυθµοί αυτοί είναι άπειροι διότι άπειρη θεωρείται και η διάταξη ως προς z. Μπορεί να φανταστεί κανείς το αποτέλεσµα της επαλληλίας των ρυθµών αυτών σαν συµβολή του βασικού ρυθµού: αρχικά υπάρχει µόνο το κύµα β0, και κάθε περίοδος
    
    19
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    δηµιουργεί λόγω σκέδασης του βασικού κύµατος µε την ασυνέχεια ένα επιπλέον κύµα, το οποίο συµβάλλει µε το αρχικό και δηµιουργεί τον αµέσως επόµενο περιοδικό ρυθµό. Με τη λογική αυτή, κάθε περίοδος δηµιουργεί ένα επιπλέον κύµα το οποίο συµβάλλει µε το βασικό κύµα και δηµιουργεί τον αντίστοιχης τάξης περιοδικό ρυθµό. Η διάταξη κυµατοδηγεί µόνο τα κύµατα τα οποία παράγονται µε αυτή τη διαδικασία της συµβολής. Μάλιστα η συµβολή αυτή προκαλεί την ακτινοβόληση της ενέργειας υπό ορισµένη γωνία, ταυτόχρονα µε την κυµατοδήγηση στο εσωτερικό της διηλεκτρικής πλάκας. Η γωνία αυτή εµφανίζεται επίσης αν αντιµετωπίσουµε το πρόβληµα µε τους κανόνες της απλή οπτικής, δηλαδή να θεωρήσουµε µία ακτίνα η οποία σκεδάζεται από µια περιοδική δοµή και να θεωρήσουµε τη συµβολή των κυµάτων σε κάποιο µακρινό σηµείο. Ακόµα, συνήθως ένας ρυθµός είναι ο κύριος ρυθµός της διάταξης, δηλαδή αυτός µε την πιο έντονη συνεισφορά. ∆εν είναι απαραίτητο ο ρυθµός αυτός να είναι ο βασικός (δηλαδή ο όρος του αθροίσµατος για n=0), αλλά το ποιος ρυθµός κυριαρχεί εξαρτάται από τη συχνότητα του κύµατος και τη χωρική συχνότητα της περιοδικότητας. Ένα βασικό χαρακτηριστικό της διάταξης είναι πως εφόσον βρεθεί ο βασικός ρυθµός, δηλαδή αφού βρεθεί η τιµή του β0, τότε είναι γνωστοί όλοι οι υπόλοιποι περιοδικοί ρυθµοί. Να σηµειωθεί σε αυτό το σηµείο πως η τιµή του β0 δεν είναι ακριβώς µοναδική, αλλά υπάρχουν 4 διαφορετικοί βασικοί ρυθµοί. Η διάταξη µπορεί να κυµατοδηγήσει τόσο τους άρτιους όσο και τους περιττούς ρυθµούς ανεξάρτητα, αλλά και προς τις δύο διευθύνσεις του z άξονα (δηλαδή εκτός από το β0 υπάρχει και ο –β0 ) . Για κάθε έναν από τους 4 βασικούς ρυθµούς εµφανίζονται στη συνέχεια επιπλέον όλοι οι περιοδικοί παράγωγοι ρυθµοί. Το ποιος βασικός ρυθµός θα χρησιµοποιηθεί εξαρτάται από τη διέγερση που επιβάλλεται. Ένα σηµαντικό σηµείο είναι και το εξής. Βασικό ρόλο θα παίξει η περίοδος της χωρικής ασυνέχειας στην επιφάνεια της διηλεκτρικής πλάκας, σε σχέση µε το µήκος κύµατος του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Αν το µήκος κύµατος είναι πολύ µεγαλύτερο από την περίοδο αυτή τότε το κύµα δεν θα “βλέπει” την ασυνέχεια αλλά θα συµπεριφέρεται σαν να βρίσκεται στον ιδανικό κυµατοδηγό χωρίς περιοδικότητα. Περιµένουµε το φαινόµενο της ακτινοβολίας να εµφανίζεται καθώς το µήκος κύµατος πλησιάζει την τάξη µεγέθους της χωρικής περιόδου, οπότε το κύµα θα αντιλαµβάνεται την ασυνέχεια και θα σκεδάζεται από αυτή, και φυσικά θα παρατηρηθεί στην πλήρη του έκταση για µήκη κύµατος αρκετά µικρότερα από την περίοδο αυτή, οπότε και κάθε πτυχή της ασυνέχειας θα συνεισφέρει στην αλληλεπίδραση του διηλεκτρικού µε το κύµα. Παρατηρήστε πως τα παραπάνω δεν ισχύουν για συγκεκριµένη µορφή περιοδικότητας, αλλά γενικά για περιοδικές δοµές. Για να λύσουµε το πρόβληµα µε την τυχαία περιοδικότητα και τη ρευµατική διέγερση, θα πρέπει πρώτα να λυθεί το οµογενές πρόβληµα χωρίς τη διέγερση ώστε να βρεθεί η τιµή του βασικού ρυθµού β0 που µπορεί να κυµατοδηγήσει η διάταξη. Στη συνέχεια, γνωρίζοντας την τιµή αυτή θα την εισάγουµε στο µη οµογενές πρόβληµα, όπου από τις οριακές συνθήκες οι οποίες περιλαµβάνουν τη διέγερση θα µπορέσουµε να υπολογίσουµε τους άγνωστους συντελεστές του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Για τους υπολογισµούς θα χρησιµοποιήσουµε τη συγκεκριµένη ηµιτονοειδή fL(z).
    
    In Middle East, an Arab after his death said in his will that his fortune, 17 camels, should be left to his 3 sons under the following condition: the older son gets half of the camels, the second one one third of them and the third one ninth of them. How are the sons going to get the camels?
    
    20
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    There are 10 types of people in the world. Those that understand binary and those that don’t. Anonymous
    
    Κεφάλαιο 2 Το οµογενές πρόβληµα
    Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τις συνοριακές συνθήκες για το ηλεκτρικό πεδίο, χωρίς τη ρευµατική διέγερση. Αναπτύσσοντας κατάλληλα τις συναρτήσεις που προκύπτουν από την εφαρµογή των συνθηκών στην πάνω επιφάνεια η οποία εµφανίζει την περιοδική ασυνέχεια στις συναρτήσεις βάσεις του προβλήµατος, προκύπτει ένα οµογενές σύστηµα ως προς τους άγνωστους συντελεστές ανάπτυξης του πεδίου.
    
    21
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    2.1 Το οµογενές πρόβληµα
    Θεωρούµε τη διάταξη η οποία περιγράφηκε στην αρχή της εργασίας, µε τα ίδια γεωµετρικά χαρακτηριστικά χωρίς όµως τη ρευµατική διέγερση. Θα λύσουµε το οµογενές πρόβληµα ώστε να βρούµε τους ρυθµούς τους οποίους µπορεί να κυµατοδηγήσει η διάταξη, και στη συνέχεια θα εισάγουµε τα αποτελέσµατα αυτά στο µη οµογενές πρόβληµα για να υπολογίσουµε τα πεδία σε όλο το χώρο. Όλες οι εξισώσεις θα περιγράφουν διάταξη χωρίς συγκεκριµένο τύπο περιοδικότητας ( θα θεωρήσουµε µια συνάρτηση fL(z) γύρω από το x=d/2) και στο επόµενο κεφάλαιο θα εξάγουµε αριθµητικά αποτελέσµατα για την ηµιτονοειδή περιοδικότητα. Θα εξετάσουµε την περίπτωση των ρυθµών ΤΜ, δηλαδή οι συνιστώσες του πεδίου θα είναι οι (Ey, Hx, Hz).
    
    Σχήµα 2.1 Το οµογενές πρόβληµα. Ένας διηλεκτρικός κυµατοδηγός ο οποίος έχει περιοδικής µορφής πάνω επιφάνεια. Αναζητούµε τα είδη των κυµάτων τα οποία µπορεί να κυµατοδηγήσει η διάταξη.
    
    Ο χώρος στην περίπτωση του οµογενούς προβλήµατος χωρίζεται σε 3 περιοχές. Θα ονοµάσουµε τις περιοχές αυτές 2, 3 και 4 (η αρίθµηση αυτή επιλέχτηκε για να συνδεθεί καλύτερα το οµογενές πρόβληµα µε το µη οµογενές). Η περιοχή 2 βρίσκεται πάνω από το διηλεκτρικό κυµατοδηγό, η περιοχή 3 είναι το εσωτερικό του κυµατοδηγού και η περιοχή 4 το τµήµα του χώρου κάτω από αυτόν. Θυµίζουµε πως έχοντας θεωρήσει ανεξαρτησία ως προς τη διεύθυνση y (δηλαδή οι τιµές των µεγεθών παραµένουν σταθερές κατά τον άξονα αυτόν) το πρόβληµά µας είναι δισδιάστατο. Έτσι πρέπει να λυθεί η εξίσωση του Helmholtz σε δύο διαστάσεις.
    
    22
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
     ∂2  ∂2 2 + 2 + k 0 η2  E y = 0 2  ∂x ∂z 
    
    (2.1)
    
    Φυσικά k0=ω/c. Ο δείκτης διάθλασης n εξαρτάται από την περιοχή που βρισκόµαστε. Η εξίσωση (2.1) πρέπει να λυθεί σε κάθε µία από τις 3 περιοχές χωριστά, υιοθετώντας λύσεις τις µορφής (1.23),
    +∞
    
    Ey (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑A
    
    n
    
    (x)e − jβn z
    
    βn = β 0 +
    
    2π n L
    
    (2.2)
    
    οπότε και θα υπολογισθούν οι συναρτήσεις An(x) µε µια πολλαπλασιαστική σταθερά µπροστά. Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τις εξισώσεις συνέχειας για το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο
    
    Ey 3 ( x = −d / 2 ) = Ey 4 ( x = −d / 2 ) H z 3 ( x = −d / 2 ) = H z 4 ( x = −d / 2 ) Ey 2 ( x = + d / 2 + εf (z) ) = Ey 3 ( x = + d / 2 + εf (z) ) H z 2 ( x = + d / 2 + εf (z) ) = H z 3 ( x = + d / 2 + εf (z) )
    
            
    
    (2.3)
    
    οπότε και θα προκύψει ένα οµογενές σύστηµα µε αγνώστους τις πολλαπλασιαστικές σταθερές των πεδίων σε κάθε περιοχή. Θα απαιτήσουµε το σύστηµα αυτό να έχει µη τετριµµένη λύση (δηλαδή µη µηδενική) εποµένως η ορίζουσά του να είναι µηδέν, και από την εξίσωση που θα προκύψει θα υπολογιστούν οι τιµές του β0 για κάθε τιµή της συχνότητας ω. Το πρώτο βήµα είναι να τοποθετήσουµε τη µορφή του πεδίου (2.2) στην εξίσωση (2.1).
     ∂2  +∞ ∂2 2 + 2 + k 0 η2  ∑ A n (x)e − jβn z 2  ∂x ∂z  n =−∞
    +∞
    
    =0
    
    ⇒
    
     ∂2  ∂2 2 [ An (x)] e− jβn z + An (x) ∂z 2 e− jβn z  + k 0η2 An (x)e− jβn z  = 0 ⇒ ∑  ∂x 2   n =−∞    d 2 An ∑ 2 n =−∞  dx
    +∞ 2 + A n (x) −βn
    
    (2.4)
    
    (
    
    )
    
     2 + k 0 η2 A n (x)  e − jβn z = 0 
    
    23
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Στο σηµείο αυτό µπορούµε να εκµεταλλευτούµε την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων e − jβn z για να αποφύγουµε το άπειρο άθροισµα. Έτσι πολλαπλασιάζουµε µε e + jβm z και ολοκληρώνουµε σε µία περίοδο, από 0 έως L.
     d 2 An ∫ n∑  dx2 0 =−∞ 
    L +∞
    
    2 + A n (x) −βn
    
    (
    
    )
    
     2 + k 0 η2 A n (x) e + jβm z e − jβn z dz = 0 
    
    ⇒
    (2.5)
    
      d 2 An  ∑   dx2 n =−∞   
    +∞
    
    −
    
    (
    
     L + jβm z − jβn z   β − k η A n (x)  ∫ e e dz  = 0  0 
    2 n 2 0 2
    
    )
    
    Όµως ισχύει
    
    ∫e
    0
    
    L
    
    + jβm z − jβn z
    
    e
    
    dz =
    
    ∫e
    0
    
    L
    
    +j
    
    2π (m−n)z L
    
    dz = L δ ( m − n )
    
    (2.6)
    
    (εδώ είναι το δέλτα του Kronecker) και εποµένως από το άθροισµα µένει µόνο ο όρος για m=n.
    
    d 2 An dx 2
    ο οποίος γράφεται καλύτερα
    
    −
    
    (β
    
    2 n
    
    2 − k 0 η2 A n (x) = 0
    
    )
    
    (2.7)
    
    d 2 An dx 2
    
    2 − g n A n (x) = 0
    
    2 2 2 g n = β n − k 0 η2
    
    (2.8)
    
    Εποµένως διαπιστώνουµε ότι οι συναρτήσεις An ικανοποιούν τη γνωστή κυµατική εξίσωση της οποίας οι λύσεις είναι γνωστές. Από εδώ και πέρα χρειάζεται να εξειδικεύσουµε τις λύσεις ανάλογα µε το ποια περιοχή µας ενδιαφέρει. Στην περιοχή 2 θα επιλέξουµε ως λύσεις εκθετικές συναρτήσεις του x, και µάλιστα τη συνάρτηση εκείνη η οποία φθίνει καθώς το x πλησιάζει το άπειρο, καθώς πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη
    
    lim E y 2 (x, z) = 0
    x →∞
    
    (2.9)
    
    Έτσι στην περιοχή αυτή έχουµε (µε n=n0 και g=g0)
    
    24
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    A 2n (x) = α 2ne − g0n x
    (2.10)
    2 22 g 0n = βn − k 0 η0
    
    ή καλύτερα για να διευκολυνθούµε στις οριακές συνθήκες στη συνέχεια
     d − g 0n  x −   2
    
    A 2n (x) = α 2ne
    
    (2.11)
    
    g 0n
    
    2π   22 n − k 0 η0 =  β0 + L  
    
    2
    
    Τώρα οι συντελεστές α2n είναι σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί, άγνωστοι για την ώρα. Στην περιοχή 3 (µε n=n1 και g=g1) θα διατηρήσουµε την πλήρη λύση µε τα δύο εκθετικά ως προς x
    A 3n (x) = α 3ne
     d − g1n  x −   2
    
    + b 3n e
    
     d + g1n  x −   2
    
    (2.12)
    
    2π   22 g1n =  β 0 + n − k 0 η1 L  
    
    2
    
    Στην περιοχή 4 θα πρέπει πάλι να ισχύει η συνθήκη
    
    x →−∞
    
    lim Ey 4 (x, z) = 0
    
    και εποµένως η λύση γράφεται
    A 4n (x) = α 4ne
     d + g 0n  x +   2
    
    (2.13)
    
    g 0n
    
    2π   22 =  β0 + n − k 0 η0 L  
    
    2
    
    25
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Συνδυάζοντας τώρα τις εξισώσεις (2.11), (2.12), (2.13) πίσω µε την (2.2), αποκτάµε την τελική µορφή των λύσεων Floquet για τα πεδία σε όλο το χώρο.
     d − g0n  x −   2  − jβn z
    
    Ey2 (x, z) =
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    e
    
    e
    
     d  d  − g1n  x −  + g1n  x −    2 Ey3 (x, z) = ∑  α 3ne + b3ne  2   e− jβn z   n =−∞  
    
    Ey4 (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    4n
    
    e
    
     d + g0n  x +   2  − jβn z
    
    e
    
    2π   22 g0n =  β0 + n  − k 0η0 L  2π   22 g1n =  β0 + n  − k 0η1 L  2π βn = β0 + n L
    2
    
    2
    
    (2.14)
    
    Τα πεδία αυτά όπως έχουν γραφεί κατέχουν κάποιες βασικές ιδιότητες, κατοπτρίζοντας τα χαρακτηριστικά του προβλήµατος: 1. ∆εν υπάρχει η συντεταγµένη y, άρα δεν υπάρχει µεταβολή ως προς y. 2. Υπάρχει διάδοση προς τον z άξονα. 3. Το άθροισµα και τα βn υποδηλώνουν την περιοδικότητα της διάταξης ως προς z. 4. Η εξάρτηση ως προς x είναι τέτοια ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση του Helmholtz. Στις παραπάνω εκφράσεις υπάρχουν 4 άγνωστοι: είναι οι συντελεστές των πεδίων. Επίσης παράµετροι του προβλήµατος είναι η συχνότητα (ή ισοδύναµα το k0) και το β0. Συνήθως η συχνότητα θεωρείται δεδοµένη, εποµένως έχουµε να κάνουµε ουσιαστικά µε 5 αγνώστους. Εφαρµόζοντας τις 4 οριακές συνθήκες (2.3) και απαιτώντας την ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων ίση µε µηδέν ώστε να µην υπάρχει τετριµµένη λύση µπορεί να υπολογιστεί ο ρυθµός β0.
    
    26
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Σχετικά µε τη συνέχεια του µαγνητικού πεδίου Hz, χρειάζεται να υπολογιστεί συναρτήσει του Ey. Για να γίνει αυτό αναπτύσσουµε την εξίσωση του Maxwell
    rotE = − jωµ 0 H ˆ x ∂ ∂x Ex ˆ y ∂ ∂y Ey ˆ z ⇒
    (2.15)
    
     Hx    ∂ = − jωµ 0  H y  ∂z H   z E
    z
    
    Όµως επειδή στο πρόβληµά µας έχουµε τις x και z συνιστώσες οι σχέσεις
    
    ∂ = 0 και Ex = Ez = H y = 0 , τότε προκύπτουν για ∂y
    
    Hx = +
    
    1 ∂E y jωµ 0 ∂z 1 ∂E y jωµ 0 ∂x
    
    Hx = −
    
            
    
    (2.16)
    
    Εποµένως τώρα οι σχέσεις συνέχειας (2.3) γίνονται
    
    Ey 3 ( x = −d / 2 ) = Ey 4 ( x = −d / 2 ) ∂E y 3 ∂x
    
    ( x = −d / 2 )
    
    =
    
    ∂E y 4 ∂x
    
    ( x = −d / 2 )
    
    Ey 2 ( x = + d / 2 + ε fL (z) ) = Ey 3 ( x = + d / 2 + ε fL (z) ) ∂E y 2 ∂x
    
    ( x = + d / 2 + ε fL (z) )
    
    =
    
    ∂E y 3 ∂x
    
    ( x = + d / 2 + ε fL (z) )
    
               
    
    (2.17)
    
    Για να υπολογίσουµε τις οριακές συνθήκες θα κάνουµε συνεχώς χρήση της ορθογωνιότητας των συναρτήσεων e − jβn z , όπως στις σχέσεις (2.5) και (2.6).
    
    27
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    2.2 Οριακές Συνθήκες
    
    1η Οριακή συνθήκη
    
    Ey 3 ( x = −d / 2 ) = Ey 4 ( x = −d / 2 )
    
    ⇒
    
    n =−∞
    
    ∑(
    
    +∞
    
    α 3ne + g1nd + b 3ne − g1nd e− jβn z =
    
    )
    
    n =−∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    4n
    
    e− jβn z
    
    ⇒
    
    α 3ne+ g1nd + b 3ne− g1nd = α 4n
    
    (2.18)
    
    2η Οριακή συνθήκη
    ∂E y 3 ∂x
    +∞
    
    ( x = −d / 2 )
    
    =
    
    ∂E y 4 ∂x
    
    ( x = −d / 2 )
    
    ⇒
    +∞
    
    n =−∞
    
    ∑ ( −g
    
    + g1n d + g1n b 3ne − g1nd e − jβn z = 1n α 3n e
    
    )
    
    n =−∞
    
    ∑g
    
    0n
    
    α 4n e− jβn z
    
    ⇒
    
    − g1n α 3n e + g1nd + g1nb 3ne − g1nd = g 0n α 4n
    g1n + g1nd g e α 3n + 1n e − g1nd b 3n = α 4n g 0n g 0n
    
    ⇒
    
    −
    
    (2.19)
    
    Απαλείφοντας το συντελεστή α4n από τις σχέσεις (2.18), (2.19) προκύπτει
    
    b 3n = −α 3n pn
    (2.20)
    
    pn = e +2g1nd
    
    g 0n + g1n g 0n − g1n
    
    28
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Η παράµετρος pn συνδέει τους συντελεστές b3n και α3n , και θα την χρησιµοποιήσουµε αυτούσια από εδώ και στο εξής.
    
    3η Οριακή συνθήκη Ερχόµαστε τώρα στο πιο κρίσιµο σηµείο, να ικανοποιήσουµε τη συνέχεια των πεδίων πάνω στην περιοδική επιφάνεια. Όπως είπαµε, η επιφάνεια περιγράφεται από τη σχέση
    x= d + ε fL (z) 2
    (2.21)
    
    δηλαδή πρόκειται για µια περιοδική συνάρτηση γύρω από d/2 µε πλάτος ε και περίοδο L.
    Ey 2 ( x = + d / 2 + ε fL (z) ) = Ey 3 ( x = + d / 2 + ε fL (z) ) ⇒
    
    n =−∞
    
    ∑
    +∞
    
    +∞
    
    α 2n e − g0n ε fL (z )e − jβn z =
    2π − g 0n ε fL (z ) − j L n z
    
    n =−∞
    
    ∑ (α
    +∞
    
    +∞
    
    3n
    
    e − g1n ε fL (z ) + b 3ne+ g1nε fL (z ) e − jβn z
    2π nz L
    
    )
    
    ⇒
    
    (2.22)
    
    n =−∞
    
    ∑α
    
    2n
    
    e
    
    e
    
    =
    
    n =−∞
    
    ∑ (α
    
    3n
    
    e
    
    − g1n ε fL (z )
    
    + b 3n e
    
    + g1n ε fL (z )
    
    )e
    
    −j
    
    Στην παραπάνω σχέση δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε άµεσα την ορθογωνιότητα για τις συναρτήσεις e L διότι υπάρχουν και άλλες παράµετροι οι οποίες εξαρτώνται από τη µεταβλητή z. Ο µόνος τρόπος για να αποφευχθεί αυτό το τέλµα είναι να αναπτύξουµε τις προβληµατικές συναρτήσεις ως προς z, δηλαδή τις e± gn ε fL (z ) , σαν ανάπτυγµα σε σειρά των ιδιοσυναρτήσεων βάσης e
    +j 2π nz L −j 2π nz
    
    , δηλαδή
    
    e
    
    ± gn ε fL (z )
    
    =
    
    κ=−∞
    
    ∑ T ( ±g ε ) e
    κ n
    L
    
    +∞
    
    +j
    
    2π κz L
    
    (2.23)
    
    όπου οι συναρτήσεις Tκ,n είναι οι συντελεστές ανάπτυξης, οι οποίοι υπολογίζονται από τη σχέση
    
    Tκ ,n = Tκ ( ± g n ε ) =
    και θεωρούνται εποµένως γνωστοί.
    
    1 L
    
    ∫
    0
    
    e± gn ε fL (z )e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz
    
    (2.24)
    
    29
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Αντικαθιστούµε τώρα την (2.23) στην (2.22):
    2π 2π + j κz  − j nz  +∞ α 2n  ∑ Tκ ( − g 0n ε ) e L  e L = ∑ n =−∞  κ=−∞  +∞
    
    =
    
    2π 2π 2π  +j κz  + j κz   − j nz  +∞  +∞ α 3n  ∑ Tκ ( − g1n ε ) e L  + b 3n  ∑ Tκ ( + g1n ε ) e L   e L ∑   n =−∞   κ=−∞   κ=−∞  +∞
    
    ⇒
    
    (2.25)
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑ ∑α
    
    +∞
    
    +∞
    
    2n
    
    Tκ ( − g 0n ε ) e
    
    −j
    
    2π (n− κ ) z L
    
    =
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑ ∑ (α
    (2.26)
    
    +∞
    
    +∞
    
    3n
    
    Tκ ( − g1n ε ) + b 3n Tκ ( + g1n ε ) )e
    
    −j
    
    2π (n− κ ) z L
    
    Εφόσον η πληροφορία για τη µεταβλητή z έχει µεταφερθεί στις συναρτήσεις βάσεις, µπορούµε τώρα να εκµεταλλευτούµε την ορθογωνιότητά τους: πολλαπλασιάζουµε µε e ολοκληρώνουµε από 0 έως L.
    L +∞ +∞ 2π 2π m z − j (n− κ ) z L L +j 2π mz L
    
    και
    
    ∫∑ ∑α
    0 n =−∞ κ=−∞ +∞
    
    2n
    
    Tκ ( − g 0n ε ) e
    
    +j
    
    e
    
    dz =
    +j 2π 2π m z − j (n− κ ) z L L
    
    =
    
    ∫∑ ∑ ∑∑
    +∞ +∞ +∞ +∞
    
    L +∞
    
    0 n =−∞ κ=−∞
    
    ( α 3nTκ ( − g1nε ) + b3n Tκ ( + g1nε ) ) e
    L −j 2π ( n − κ− m ) z L
    
    e
    
    dz
    
    ⇒
    (2.27)
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    α 2n Tκ ( − g 0n ε ) ∫ e
    0
    
    dz =
    L −j 2π ( n − κ− m ) z L
    
    =
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑ ∑ (α
    
    3n Tκ ( − g 1n ε ) + b 3n Tκ ( + g 1n ε ) ) ∫ e 0
    
    dz
    
    Τώρα, από το άθροισµα ως προς n εξαιτίας της ορθογωνιότητας θα µείνει µόνο ο όρος µε n=m+κ, ενώ το άθροισµα ως προς κ θα παραµείνει.
    
    κ=−∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    α 2(m + κ ) Tκ − g 0(m + κ ) ε =
    
    (
    
    ) ∑α
    κ=−∞
    
    +∞
    
    3(m + κ )
    
    Tκ − g1(m + κ )ε + b 3(m + κ ) Tκ + g1(m + κ )ε
    
    (
    
    )
    
    (
    
    )
    
    (2.28)
    
    Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση (2.28) την (2.20), καταλήγουµε σε µία εξίσωση µε δύο αγνώστους:
    
    30
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    κ=−∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    Tκ − g 0(m + κ )ε + α 3(m + κ ) p(m + κ ) Tκ + g1(m + κ )ε − Tκ − g1(m + κ )ε
    
    (
    
    )
    
    (
    
    (
    
    )
    
    (
    
    ))
    
    =0
    
    (2.29)
    
    Τέλος, πραγµατοποιούµε την αλλαγή µεταβλητής m+κ=n, κ=n-m οπότε και η (2.29) γίνεται
    
    n =−∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    Tm − n ( − g 0n ε ) + α 3n ( pn Tm − n ( + g1n ε ) − Tm − n ( − g1n ε ) ) = 0
    
    (2.30)
    
    Η σχέση (2.30) περιέχει 2 ακολουθίες αγνώστων: τους συντελεστές α2n και τους α3n. Το πλήθος των συντελεστών αυτών είναι άπειρο, εκτείνεται όσο και η µεταβλητή n. Βέβαια και η εξίσωση (2.30) δεν είναι µία, αλλά πρόκειται άπειρο πλήθος εξισώσεων, για όλες τις δυνατές τιµές του m. Από την τέταρτη οριακή συνθήκη θα εξάγουµε ένα δεύτερο σύνολο εξισώσεων της µορφής (2.30), το οποίο θεωρητικά αρκεί για να υπολογιστούν όλοι οι ζητούµενοι συντελεστές.
    
    4η Οριακή συνθήκη Με παρόµοιο τρόπο τώρα θα εξάγουµε και την τελευταία σχέση για τους συντελεστές.
    
    ∂E y 2 ∂x
    +∞
    
    ( x = +d / 2 + ε fL (z) )
    g 0n e
    − g 0n ε fL (z ) − jβn z
    
    =
    
    ∂E y 3 ∂x
    +∞
    
    ( x = + d / 2 + ε fL (z) )
    
    ⇒
    
    n =−∞
    
    ∑ −α ∑
    +∞
    
    2n
    
    e
    
    =
    
    n =−∞
    
    ∑ ( −α ∑(
    +∞
    
    3n
    
    g1n e − g1n ε fL (z ) + b 3n g1n e+ g1n ε fL (z ) e − jβn z
    2π nz L
    
    )
    
    ⇒
    
    n =−∞
    
    −α 2n g 0n e− g0n ε fL (z )e
    
    −j
    
    2π nz L
    
    =
    
    n =−∞
    
    −α 3n g1n e − g1n ε fL (z ) + b 3n g1n e+ g1n ε fL (z ) e
    (2.31)
    
    )
    
    −j
    
    Χρησιµοποιούµε και πάλι το ανάπτυγµα
    
    e
    
    ± gn ε fL (z )
    
    =
    
    κ=−∞
    
    ∑ T ( ±g ε ) e
    κ n
    
    +∞
    
    +j
    
    2π κz L
    
    (2.32)
    
    31
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Tκ ,n = Tκ ( ± g n ε ) =
    Αντικαθιστούµε τώρα την (2.32) στην (2.31):
    
    1 L
    
    ∫
    0
    
    L
    
    e± gn ε fL (z )e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz
    
    (2.33)
    
    2π 2π + j κz  −j nz  +∞ L = e L ∑ −α 2n g 0n  κ=−∞ Tκ ( − g 0nε ) e ∑ n =−∞   +∞ 2π 2π 2π  +j κz  + j κ z   − j nz  +∞  +∞ L L = ∑  −α 3n g1n  ∑ Tκ ( − g1n ε ) e  + b 3n g1n  ∑ Tκ ( + g1n ε ) e e L   n =−∞  κ=−∞ κ=−∞     +∞
    
    ⇒
    
    (2.34)
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑∑
    
    +∞
    
    +∞
    
    −α 2n g 0n Tκ ( − g 0n ε ) e
    
    −j
    
    2π ( n −κ ) z L
    
    =
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑ ∑ ( −α
    
    +∞
    
    +∞
    
    3n g1n Tκ ( − g1n ε ) + b 3n g1n Tκ ( + g1n ε ) )e
    
    −j
    
    2π ( n −κ ) z L
    
    (2.35)
    
    Τώρα πολλαπλασιάζουµε µε e
    L +∞ +∞
    
    +j
    
    2π mz L
    
    και ολοκληρώνουµε από 0 έως L.
    2π 2π m z − j ( n −κ ) z L L
    
    ∫∑ ∑
    =
    L +∞ +∞
    
    0 n =−∞ κ=−∞
    
    −α 2n g 0n Tκ ( − g 0n ε ) e
    
    +j
    
    e
    
    dz =
    +j 2π 2π m z − j ( n −κ ) z L L
    
    ∫ ∑ ∑ ( −α
    0 n =−∞ κ=−∞
    
    3n
    
    g1n Tκ ( − g1n ε ) + b 3n g1n Tκ ( + g1n ε ) ) e
    
    e
    
    dz ⇒
    (2.36)
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑∑
    +∞ +∞
    
    +∞
    
    +∞
    
    −α 2n g 0n Tκ ( − g 0n ε ) ∫ e
    0
    
    L
    
    −j
    
    2π ( n − κ− m ) z L
    
    dz =
    L −j 2π ( n − κ− m ) z L
    
    =
    
    n =−∞ κ=−∞
    
    ∑∑
    
    ( −α 3n g1nTκ ( − g1nε ) + α 3n g1n Tκ ( + g1nε ) ) ∫ e
    0
    
    dz
    
    Παρόµοια, από το άθροισµα ως προς n εξαιτίας της ορθογωνιότητας θα µείνει µόνο ο όρος µε n=m+κ, ενώ το άθροισµα ως προς κ θα παραµείνει.
    +∞
    
    κ=−∞
    
    ∑
    
    −α 2(m + κ ) g 0(m + κ ) Tκ − g 0(m + κ )ε =
    
    (
    
    ) ∑ −α
    κ=−∞
    
    +∞
    
    3(m + κ )
    
    g1(m + κ ) Tκ − g1(m + κ )ε + b 3(m + κ ) g1(m+ κ ) Tκ + g1(m + κ )ε
    
    (
    
    )
    
    (
    
    )
    
    (2.37)
    
    32
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση (2.37) τη (2.20), καταλήγουµε ξανά σε µία εξίσωση µε δύο αγνώστους:
    
    κ=−∞
    
    ∑ −α
    
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    g 0(m + κ ) Tκ − g 0(m + κ )ε + α 3(m + κ ) g1(m + κ ) p(m + κ ) Tκ + g1(m + κ )ε + Tκ − g1(m + κ )ε
    (2.38)
    
    (
    
    )
    
    (
    
    (
    
    )
    
    (
    
    ))
    
    =0
    
    Τέλος, πραγµατοποιούµε την αλλαγή µεταβλητής m+κ=n, κ=n-m οπότε και η (2.38) γίνεται
    
    n =−∞
    
    ∑ −α
    
    +∞
    
    2n
    
    g 0n Tm − n ( − g 0n ε ) + α 3n g1n ( pn Tm − n ( + g1n ε ) + Tm − n ( − g1n ε ) ) = 0
    
    (2.39)
    
    Οι εξισώσεις (2.30) και (2.39) µας δίνουν το σύστηµα εξισώσεων το οποίο πρέπει να λυθεί.
    +∞
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    2n
    
    Tm − n ( − g 0n ε )
    
    + α 3n ( pn Tm − n ( + g1n ε ) − Tm − n ( − g1n ε ) )
    
    =0 =0
    
    n =−∞
    
    2n
    
    Tm − n ( − g 0n ε ) g 0n − α 3n ( pn Tm − n ( + g1n ε ) + Tm − n ( − g1n ε ) ) g1n
    (2.40)
    
          
    
    Οι παραπάνω εξισώσεις (2.40) ισχύουν για κάθε m, από µείον άπειρο έως άπειρο, και αντιστοιχούν σε ένα οµογενές σύστηµα. Το ζητούµενο τώρα είναι να βρούµε για ποιες τιµές του β0 το οµογενές αυτό σύστηµα έχει µη µηδενική λύση (εξίσωση διασποράς). Στο επόµενο κεφάλαιο θεωρούµε µια συγκεκριµένη περιοδική ασυνέχεια fL(z) και υπολογίζουµε τις τιµές αυτές.
    
    33
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    2.3 Αναγωγή στον απλό κυµατοδηγό
    Θα αποδείξουµε πρώτα πως το σύστηµα εξισώσεων στο οποίο καταλήξαµε
    
    n =−∞
    +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    Tm −n ( − g 0n ε )
    
    + α 3n ( pn Tm −n ( + g1n ε ) − Tm −n ( − g1n ε ) )
    
    =0 =0
    
    n =−∞
    
    2n
    
    Tm −n ( − g 0n ε ) g 0n − α 3n ( pn Tm −n ( + g1n ε ) + Tm −n ( − g1n ε ) ) g1n
    (2.41)
    
    και από το οποίο θα εξάγουµε την εξίσωση διασποράς, µπορεί στην οριακή περίπτωση όπου η περιοδική ασυνέχεια εξαφανίζεται να οδηγήσει στην εξίσωση διασποράς του απλού κυµατοδηγού πλάτους d. Για να το δείξουµε αυτό πρέπει να αναλύσουµε την περίπτωση όπου ισχύει
    ε→0 L→∞
    (2.42)
    
    Η πρώτη σχέση από την (2.41) εξασφαλίζει πως η περιοδικότητα µηδενίζεται, µηδενίζοντας το πλάτος της. Υπάρχει όµως και κάτι ακόµα: για να βρούµε τη µορφή των πεδίων υποθέσαµε πως είναι περιοδικές συναρτήσεις, και τις αναπτύξαµε σε σειρά fourier. Μια τέτοια απαίτηση δεν υπάρχει στη λύση του απλού κυµατοδηγού, εποµένως αν δεν την αντιστρέψουµε τότε δεν είναι δυνατό να καταλήξουµε στα ίδια αποτελέσµατα. Επειδή η απαίτηση για περιοδικές συναρτήσεις προέρχεται από τη εµφάνιση της χωρικής περιόδου µε περίοδο L, θα πρέπει να εξαφανίσουµε αυτού του είδους την περιοδικότητα. Έτσι απαιτούµε η περίοδος αυτή να τείνει στο άπειρο, διότι έτσι η περιοδική συνάρτηση µετατρέπεται σε µη περιοδική (κάπως έτσι καταλήγει άλλωστε κανείς από τη σειρά fourier στο µετασχηµατισµό fourier µη περιοδικών συναρτήσεων). Θυµίζουµε πως οι συντελεστές Τκ δίνονται από τη σχέση
    Tκ ( ± g n ε ) =
    1 L
    
    ∫
    0
    
    L
    
    e ± gn ε fL (z )e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz
    
    (2.43)
    
    Στην οριακή περίπτωση όπου ε 0 έχουµε
    Tκ ( 0 ) =
    1 L
    
    ∫
    0
    
    L
    
    e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz = δ ( κ )
    
    (2.44)
    
    δηλαδή συµπεριφέρονται σαν δέλτα του kronecker στο µηδέν. Έτσι από το άθροισµα ως προς n στις σχέσεις (2.41) θα µείνει µόνο ο όρος µε n=m, και τιµή ίση µε 1. Επίσης για L να τείνει στο άπειρο έχουµε
    
    34
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    2 22 g 0n = β 0 − k 0 η0 = g 0 2 22 22 2 g1n = β 0 − k 0 η1 = j k 0 η1 − β 0 = jg1
    
    (2.45)
    
    pn = e 2 jg1d
    
    g1 g 0 + jg1 g0 = e 2 jg1d =p g g 0 − jg1 1− j 1 g0 1+ j
    
    Τότε οι σχέσεις (2.41) γίνονται
    
    α 2m
    
    + α 3m ( p − 1)
    
    =0
    
    α 2m g 0 + α 3m ( p + 1) g1 = 0
    
    (2.46)
    
    Πρέπει για οποιοδήποτε m η σχέση (2.46) να δίνει µη µηδενικές λύσεις, και άρα απαιτούµε η ορίζουσα του συστήµατος να είναι µηδέν.
    1 g0 p −1
    
    ( p + 1) g 1
    
    =0
    
    (2.47)
    
    Κάνοντας µερικές πράξεις έχουµε
     g g p1 + j 1  = 1 − j 1 g0  g0  g1 g0 e 2 jg1d g 1− j 1 g0 1+ j ⇒
    
     g1  g1 1 + j  = 1 − j g0  g0 
    
    ⇒
    
    e 2 jg1d
    
     g1  1 − j  g0  = 2  g1  1 + j  g0   g1 g0 = g 1+ j 1 g0 1− j
    
    2
    
    ⇒
    
    e jg1d
    
    (2.48)
    
    35
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Τώρα βασιζόµαστε στην µαθηµατική ταυτότητα
    
    tan ( x ) = − j
    η οποία αν λυθεί αντίστροφα δίνει
    
    e jx − e − jx e jx + e − jx
    
    (2.49)
    
    (e )
    jx
    
    2
    
    =
    
    1 + jtan ( x ) 1 − jtan ( x )
    
    ⇒ e jx =
    
    1 + jtan ( x / 2 ) 1 − jtan ( x / 2 )
    
    (2.50)
    
    Εποµένως συγκρίνοντας τις σχέσεις (2.48) και (2.50) µε x=g1d παίρνουµε
    
    g  d tan  a  = − 1 g0  2
    (2.51)
    
    g  d tan  a  = + 0 g1  2
    δηλαδή προκύπτουν οι υπερβατικές εξισώσεις οι οποίες δίνουν τους περιττούς και άρτιους αντίστοιχα ρυθµούς διασποράς του απλού διηλεκτρικού κυµατοδηγού πλάτους d. ό.έ.δ. Είναι εντυπωσιακό πως το συµπέρασµα αυτό και πάλι ισχύει για κάθε µορφής περιοδικότητα.
    
    36
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    2.4 Σύνοψη Κεφαλαίου
    Τα πεδία στις 3 περιοχές του οµογενούς προβλήµατος γράφονται
    Ey 2 (x, z) = Ey 3 (x, z) = Ey4 (x, z) =
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑ α2ne
    
    +∞
    
     d − g0n  x −   2  − jβn z
    
    e
    
     d  d  − g1n  x −  + g1n  x −    α3ne  2  + b3ne  2   e− jβnz ∑  n =−∞  
    
    n =−∞
    
    ∑ α4ne
    
    +∞
    
     d + g0n  x +   2  − jβn z
    
    e
    
    Οι συντελεστές υπολογίζονται από τις σχέσεις:
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    Tm − n ( − g 0n ε )
    
    + α 3n ( pn Tm − n ( + g1n ε ) − Tm − n ( − g1n ε ) )
    
    =0 =0
    
    n =−∞
    
    2n
    
    Tm − n ( − g 0n ε ) g 0n − α 3n ( pn Tm − n ( + g1n ε ) + Tm − n ( − g1n ε ) ) g1n b 3n = −α 3n pn α 4n = α 3n e + g1nd + b 3ne − g1nd
    
    Όπου
    
    pn = e +2g1nd g 0n
    
    g 0n + g1n g 0n − g1n
    2
    
    2π   22 =  β0 + n  − k 0 η0 L 
    2
    
    Tκ ( ± g n ε ) =
    
    1 L
    
    ∫
    0
    
    L
    
    e ± gn ε fL (z )e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz
    
    2π   22 g1n =  β0 + n  − k 0 η1 L  2π n βn = β 0 + L
    Για τις σηµασίες των συµβόλων συνοπτικά ανατρέξτε στο παράρτηµα Χ.
    
    There is a liter of milk and a liter of sangria. We put a cup of sangria in the milk. Then we take a cup from this mixture and put it in the milk. Now, is there more, less, or equal quantity of sangria in the milk than milk in the sangria?
    
    37
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    38
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Black holes exist where God divided by zero. Anonymous
    
    Κεφάλαιο 3
    Το οµογενές πρόβληµα Συµπεράσµατα
    Στο κεφάλαιο αυτό εξάγουµε αριθµητικά αποτελέσµατα θεωρώντας ηµιτονοειδή περιοδική ασυνέχεια. Προσεγγίζουµε το θεωρητικό σύστηµά µας µε ένα άλλο το οποίο λύνεται υπολογιστικά και περιγράφουµε συνοπτικά τις συναρτήσεις σε Matlab οι οποίες χρησιµοποιούνται για την επίλυσή του και την εύρεση των ρυθµών κυµατοδήγησης. Παρουσιάζουµε τέλος µε γραφικό τρόπο τις ιδιότητες των ρυθµών αυτών και πώς επηρεάζονται οι ρυθµοί από τις γεωµετρικές παραµέτρους της διάταξης.
    
    39
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    3.1 Εύρεση της εξίσωσης διασποράς
    Το ζητούµενο του κεφαλαίου αυτού είναι η επίλυση των εξισώσεων
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    Tm −n ( − g 0n ε )
    
    + α 3n ( pn Tm −n ( + g1n ε ) − Tm −n ( − g1n ε ) )
    
    =0
    (3.1)
    
    n =−∞
    
    2n
    
    Tm −n ( − g 0n ε ) g 0n − α 3n ( pn Tm −n ( + g1n ε ) + Tm −n ( − g1n ε ) ) g1n
    
    =0
    
    Θα βρούµε τις τιµές της σταθεράς διάδοσης β0 για τις οποίες το παραπάνω σύστηµα (3.1) επιδέχεται µη µηδενικές λύσεις. Επειδή η λύση µπορεί να γίνει µόνο µε αριθµητικές µεθόδους, θα συγκεκριµενοποιήσουµε τη µορφή της περιοδικής ασυνέχειας fL(z), και κατά συνέπεια θα υπολογίσουµε τους συντελεστές Τκ. Έτσι λοιπόν, θεωρούµε ότι η περιοδικότητα είναι ηµιτονοειδής, δηλαδή
    
     2π  fL (z) = sin  z L 
    Τότε οι συντελεστές Τκ υπολογίζονται από τη σχέση
    
    (3.2)
    
    Tκ ( ± g n ε ) =
    
    1 L
    
    ∫e
    0
    
    L
    
     2π  ± gn ε sin  z  − j 2 π κ z L  L
    
    e
    
    dz
    
    (3.3)
    
    Βασιζόµενοι όµως στον εξής ολοκληρωτικό τύπο
    j− n jxcos θ Jn ( x) = e cos ( nθ ) dθ π∫ 0
    π
    
    (3.4)
    
    διαπιστώνουµε µέσω απλών πράξεων (όπου x jx, θ θ+π/2, διαχωρισµός πραγµατικού και φανταστικού µέρους της (3.3) ) πως ουσιαστικά στην περίπτωση ηµιτονοειδούς περιοδικότητας οι συντελεστές fourier είναι συναρτήσεις Bessel µε φανταστικό όρισµα, πρόκειται δηλαδή για τροποποιηµένες Bessel (modified Bessel functions).
    Tκ ( ± g n ε ) = J κ ( ∓ jg n ε )
    (3.5)
    
    Βέβαια οι συναρτήσεις gn δεν είναι απαραίτητα πραγµατικές. Αναλόγως σε ποιόν ρυθµό αντιστοιχούν (τάξης n) έχουν είτε πραγµατικές είτε φανταστικές τιµές. Γενικά, “µικροί” ρυθµοί, δηλαδή ρυθµοί κοντά στον ισχυρότερο ρυθµό της διάταξης, θα δίνουν πραγµατικές τιµές. Αντίθετα όλοι οι υπόλοιποι ρυθµοί θα δίνουν φανταστικές τιµές. Το γεγονός αυτό µας βολεύει
    
    40
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    διότι η πλειοψηφία των ρυθµών κατά συνέπεια δε συνεισφέρει σηµαντικά, και έτσι αρκεί να υπολογίζουµε τη συνεισφορά µικρού αριθµού ρυθµών για να επιτύχουµε καλή ακρίβεια. Θυµίζουµε ότι οι τροποποιηµένες Bessel λειτουργούν πρακτικά σαν εκθετικά. Με τη βοήθεια της (3.5), η (3.1) γράφεται
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    J m −n ( + jg 0n ε )
    
    + α 3n ( p n J m −n ( − jg1n ε ) − J m −n ( + jg1n ε ) )
    
    =0 =0
    
    n =−∞
    
    2n
    
    J m −n ( + jg 0n ε ) g 0n − α 3n ( pn J m −n ( − jg1n ε ) + J m −n ( + jg1n ε ) ) g1n
    (3.6)
    
    Επίσης, χρησιµοποιώντας την εξής ιδιότητα των συναρτήσεων Bessel
    
    J n ( − x ) = ( − 1) J n ( x )
    n
    
    (3.7)
    
    τότε το σύστηµα γράφεται
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    J m −n ( + jg 0n ε )
    
    + α 3n J m −n ( + jg1n ε ) pn ( −1)
    n
    
    n =−∞
    
    2n
    
    J m −n ( + jg 0n ε ) g 0n − α 3n J m −n ( + jg1n
    (3.8)
    
    ( ε ) ( p ( − 1)
    
    n −m
    
    n −m
    
    ) + 1) g
    −1
    
    =0
    1n
    
    =0
    
    Στη συνέχεια θέτοντας
    
    A n,m = J m −n ( + jg 0n ε )
    
    Bn,m = J m −n ( + jg1n ε ) pn ( −1) Cn,m = J m −n ( + jg 0n ε ) g 0n Dn,m = − J m −n ( + jg1n ε ) pn ( −1)
    η (3.8) γίνεται τελικά
    
    (
    
    n −m
    
    −1
    
    ) )
    
    (3.9)
    
    (
    
    n −m
    
    + 1 g1n
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    A n,m + α 3n Bn,m Cn,m + α 3n Dn,m
    
    =0
    (3.10)
    
    n =−∞
    
    2n
    
    =0
    
    η οποία ισχύει για κάθε ακέραιο αριθµό m.
    
    41
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    3.2 Αριθµητική Προσαρµογή Ερχόµαστε τώρα και πάλι στη λύση των εξισώσεων της µορφής (3.10). Μέχρι το σηµείο αυτό οι πράξεις µας είναι απόλυτα ακριβείς, διότι δεν έχει γίνει καµία προσέγγιση. Για να συνεχίσουµε όµως θα πρέπει να κάνουµε µια παραδοχή, ότι τα άπειρα αθροίσµατα δεν εκτείνονται µέχρι το άπειρο, αλλά τερµατίζουν σε κάποιον ακέραιο. Θα θεωρήσουµε δηλαδή ότι τόσο ο n όσο και ο m είναι πεπερασµένοι τόσο προς τα θετικά όσο και προς τα αρνητικά και έχουν µέγιστη απόλυτη τιµή τον αριθµό Ν.
    −N ≤ n ≤ + N −N ≤ m ≤ + N
    (3.11)
    
    Η παραδοχή αυτή είναι τόσο καλύτερη όσο µικρότεροι είναι οι όροι Α, Β, C, D για µεγάλες τιµές των n,m µεγαλύτερες από Ν. Τότε αντί του συστήµατος (3.10), έχουµε το προσεγγιστικό σύστηµα
    
    n =− N +N
    
    ∑α ∑α
    
    +N
    
    2n
    
    A n,m + α 3n Bn,m Cn,m + α 3n Dn,m
    
    =0
    (3.12)
    
    n =− N
    
    2n
    
    =0
    
    το οποίο εκφράζει ένα οµογενές γραµµικό σύστηµα 4Ν+4 εξισώσεων µε 4Ν+2 αγνώστους. Γράφεται στη µορφή
    
    Q⋅X = O
    όπου
    
    (3.13)
    
    42
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
     A−N,−N   A−N+1,−N .  .  A+N−1,−N   A+N,−N = −   B−N,−N B  −N+1,−N .  .  B+N−1,−N  B  +N,−N
    
    A−N,−N+1 A N+1,−N+1 − . . A N−1,−N+1 + A+N,−N+1 − B−N,−N+1 B−N+1,−N+1 . . B+N−1,−N+1 B+N,−N+1
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    A−N,+N−1
    
    A B Q= = C D A−N,+N | C N,−N − | | | | | | | | | | | |
    (3.14)
    
    C N,−N+1 −
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    C N,+N−1 − C N+1,+N−1 − . . C N−1,+N−1 + C N,+N−1 + − D N,+N−1 −
    
    A−N+1,+N−1 A N+1,+N − . . . . A+N−1,+N−1 A+N−1,+N A+N,+N−1 − B−N,+N−1 A N,+N + − B−N,+N
    
    C N+1,−N C N+1,−N+1 − − . . . . C N−1,−N C N−1,−N+1 + + C N,−N + − D N,−N − C N,−N+1 + − D N,−N+1 −
    
    C N,+N  − C N+1,+N − . . C N−1,+N + C N,+N + − D N,+N −
    
    B−N+1,+N−1 B−N+1,+N . . . . B+N−1,+N−1 B+N−1,+N B+N,+N−1 B+N,+N
    
    D N+1,−N D N+1,−N+1 − − . . . . D N−1,−N D N−1,−N+1 + + D N,−N + D N,−N+1 +
    
    D N+1,+N−1 D N+1,+N − − . . . . D N−1,+N−1 D N−1,+N + + D N,+N−1 + D N,+N  +
    
     α 2|− Ν     α 2|− Ν +1  .   .    α 2|+ Ν −1     α 2|+ Ν  X=  b  2|− N   b 2|− Ν +1    .   . b   2|+ Ν −1  b   2|+ Ν 
    
    (3.15)
    
    Ο πίνακας Q είναι ο πίνακας ο οποίος περιγράφει το προσεγγιστικό οµογενές σύστηµα. Για να απαιτήσουµε να µην έχει το σύστηµά µας τη µηδενική λύση, ισοδύναµα θα απαιτήσουµε η ορίζουσά του να είναι ίση µε µηδέν.
    
    43
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    det ( Q ) = 0
    
    (3.16)
    
    Η παραπάνω εξίσωση είναι η σχέση διασποράς του συστήµατος, δηλαδή δίνει τη σταθερά διάδοσης β0 της διάταξης σε σχέση µε τη συχνότητα ω (ή ισοδύναµα τον κυµατάριθµο k0). Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα πρέπει να είναι άπειρες αλλά και περιοδικές µε περίοδο L. Εκτός από το βασικό ρυθµό β0 θα υπάρχουν οι β0+2π/L, β0-2π/L, β0+4π/L, β0-4π/L, και ούτω καθεξής. Επίσης, εξαιτίας της συµµετρίας της η διάταξη µπορεί να κυµατοδηγήσει κύµατα τα οποία διαδίδονται προς την κατεύθυνση –z. Για τα κύµατα αυτά περιµένουµε ως λύσεις της παραπάνω εξίσωσης (3.16) να εµφανιστεί ο βασικός ρυθµός –β0, και όλοι οι περιοδικοί του β0+2π/L, -β0-2π/L, -β0+4π/L, -β0-4π/L κοκ. Φυσικά εξαιτίας της ιδιαίτερης µορφής των ρυθµών αρκεί να υπολογίσουµε το βασικό ρυθµό β0. Όλοι οι υπόλοιποι ρυθµοί είναι αυτόµατα γνωστοί από εκεί και πέρα. Ο πίνακας Q του οµογενούς προβλήµατος έχει διαστάσεις 4Ν+2 x 4Ν+2, όπου Ν είναι η έκταση των ακεραίων µεταβλητών προς τα θετικά και τα αρνητικά. Στην ιδανική περίπτωση, το Ν θα ήταν άπειρο και ο πίνακας θα είχε κατά συνέπεια άπειρες διαστάσεις. Για τις ανάγκες του αριθµητικού υπολογισµού όµως πρέπει ο πίνακας να είναι πεπερασµένος ώστε να µπορέσουµε να τον υπολογίσουµε µε πεπερασµένο τρόπο. Πριν ξεκινήσουµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα (3.16), πρέπει να µελετήσουµε λίγο τη µορφή του πίνακα Q, και συγκεκριµένα τα στοιχεία του. Σχεδόν αµέσως βρισκόµαστε απέναντι σε ένα σχεδόν αξεπέραστο πρόβληµα. Τα στοιχεία του πίνακα Q είναι συνήθως τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel, οι οποίες συµπεριφέρονται σαν εκθετικά, τα οποία έχουν στους εκθέτες τους παράγοντες g0 και g1. Οι παράγοντες αυτοί εξαρτώνται άµεσα από τον ακέραιο n: θα έχουν µέγιστη τιµή όταν ο n πάρει και αυτός τη µέγιστη τιµή του, δηλαδή Ν. Έτσι τα µη κεντρικά στοιχεία του πίνακα θα έχουν όλο και µεγαλύτερους όρους στα εκθετικά και θα αυξάνουν (ή θα µειώνονται) για µεγαλύτερα Ν. Ακόµα και για Ν=3, οι τιµές των ακριανών στοιχείων του πίνακα κυµαίνονται από 10-200 έως 10+200, ενώ τείνουν είτε στο άπειρο είτε στο µηδέν καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Από υπολογιστικής άποψης, η διαφορά τόσων τάξεων µεγέθους µεταξύ των στοιχείων του ίδιου πίνακα καθιστά ιδιαίτερα δύσκολο τον υπολογισµό της ορίζουσάς του, αφού δεν είναι εύκολο να διατηρηθεί η απαιτούµενη ακρίβεια. Ακόµα πιο επίπονη διαδικασία είναι να προσπαθήσει να εφαρµόσει κανείς κάποιον επαναληπτικό αλγόριθµο, αφού οι τιµές που θα πάρει είναι ανεξέλεγκτες και οι πράξεις µεγαλώνουν σε πολυπλοκότητα µε αστρονοµικούς ρυθµούς όσο µεγαλώνει η ορίζουσα. Μια καλύτερη µέθοδος σε τέτοιες περιπτώσεις είναι µη βρει κανείς τους µηδενισµούς της ορίζουσας του πίνακα Q, αλλά να βρει τα µέγιστα του δείκτη κατάστασης αυτού. Ο δείκτης κατάστασης µ ενός πίνακα Q ορίζεται από τη σχέση
    µ= 1 Q Q −1
    (3.17)
    
    1 ≤ µ < +∞
    
    για κάποια νόρµα του πίνακα Q. Ο δείκτης κατάστασης δείχνει πόσο οµαλός είναι ένας πίνακας. Για ένα πίνακα µε “άσχηµα” στοιχεία όπως ο δικός µας, το µ θα έχει πολύ µεγάλες τιµές. Όσο πιο καλός είναι ο πίνακας, τόσο ο δείκτης κατάστασης θα πλησιάζει τη µονάδα. Ο δείκτης κατάστασης έχει την ιδιότητα να φανερώνει πόσο singular είναι ένα γραµµικό σύστηµα, δηλαδή πόσο πιθανό είναι να
    
    44
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    έχει µοναδική λύση. Αν η ορίζουσα του συστήµατος είναι µακριά από το µηδέν, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση (τη µηδενική!) και ο δείκτης κατάστασης είναι ίσος µε 1. Αν όµως το σύστηµα έχει πολλές λύσεις, η ορίζουσά του είναι κοντά στο µηδέν και ο δείκτης κατάστασης πλησιάζει το άπειρο όσες περισσότερες λύσεις έχει. Εποµένως µπορούµε αντί να βρούµε εκείνα τα β0 για τα οποία να µηδενίζεται η ορίζουσα (3.25), να βρούµε εκείνα τα β0 για τα οποία µεγιστοποιείται ο δείκτης κατάστασης
    µ ( β0 ) = max
    (3.18)
    
    Υπολογιστικά, ο δείκτης κατάστασης ενός πίνακα υπολογίζεται πολύ πιο εύκολα και πολύ πιο γρήγορα από ότι µια ορίζουσα, και έτσι η µέθοδος αυτή προτιµάται για τέτοια προβλήµατα.
    
    45
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    3.3 Matlab
    Παραθέτουµε στη συνέχεια τον κώδικα σε γλώσσα Matlab ο οποίος λύνει το οµογενές πρόβληµα. Να τονιστεί ότι σε όλους τους αριθµητικούς υπολογισµούς χρησιµοποιούµε κανονικοποιηµένες τιµές των µεγεθών ως προς την απόσταση. Έτσι, εσωτερικά σε κάθε τµήµα κώδικα, όλα τα µήκη διαιρούνται µε το µήκος κύµατος και όλοι οι κυµατάριθµοι πολλαπλασιάζονται µε το µήκος κύµατος. Αυτό διευκολύνει τις πράξεις διότι δεν εµφανίζονται ιδιαίτερα µεγάλα νούµερα. Το πρωτο αρχείο, DispersionRelation.m, υπολογίζει τα στοιχεία του πίνακα Q, έχοντας σαν είσοδο τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος, χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση result=DispersionRelation(k0,b0,N,d,e,L). k0 είναι ο κυµατάριθµος, b0 η σταθερά διάδοσης, N η έκταση των ακεραίων και άρα των στοιχείων του πίνακα, d το πλάτος του κυµατοδηγού, e το πλάτος της περιοδικότητας, και L η χωρική περίοδος. Το δεύτερο αρχείο είναι το b0search.m. Καταρχάς να πούµε πως στο Matlab υπολογίζουµε το αντίστροφο του δείκτη κατάστασης 1/µ, διότι υπολογιστικά αυτό µπορεί να γίνει πολύ πιο γρήγορα. Έτσι τώρα µας ενδιαφέρουν τα τοπικά ελάχιστα του 1/µ, τα οποία εντοπίζονται καλύτερα εφαρµόζοντας λογάριθµο στο 1/µ, διότι οξύνονται οι απότοµες µεταβολές. Στο αρχείο αυτό υπάρχει η συνάρτηση index = b0search (k0,bmin,bmax,L1,N,d,M,L), η οποία επιστρέφει τα ελάχιστα της σχέσης log(1/µ). k0 είναι ο κυµατάριθµος, b0 η σταθερά διάδοσης, N η έκταση των ακεραίων, d το πλάτος του κυµατοδηγού, Μ ο δείκτης διαµόρφωσης της περιοδικότητας, και L η χωρική περίοδος. Τα bmin και bmax καθορίζουν τα όρια στα οποία γίνεται η αναζήτηση των ελαχίστων. Η ποσότητα 1/µ υπολογίζεται µέσω της συνάρτησης του Matlab rcond. Επίσης η συνάρτηση b0search σχεδιάζει την εξάρτηση του log(1/µ) για τα β0 τα οποία ορίζουµε. Οι παραπάνω δύο συναρτήσεις µας δίνουν µια εικόνα για το σύστηµα και σχεδιάζουν γραφικά το 1/µ για τα διάφορα β0. Η συνάρτηση που χρησιµοποιούµε όµως στη συνέχεια είναι στο τρίτο αρχείο, και ονοµάζεται result=b00(k0,bmin,bmax,N,d,M,L). Επιστρέφει µία και µόνο τιµή για το β0, η οποία είναι σωστή αν το διάστηµα bmin,bmax είναι αρκετά µικρό. Η διαδικασία είναι πως από τις 2 πρώτες συναρτήσεις παρατηρούµε γραφικά που περίπου βρίσκεται το β0 που µας ενδιαφέρει, και στη συνέχεια µε τη συνάρτηση b00 υπολογίζουµε ακριβώς την τιµή αυτή. Η συνάρτηση b00 χρησιµοποιεί για την εύρεση των ελαχίστων τη µη γραµµική συνάρτηση fminbnd. Οι κώδικες βρίσκονται στο παράρτηµα 1.
    
    46
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    3.4 Συµπεράσµατα
    Στο επόµενο σχήµα φαίνεται γραφικά η εξάρτηση του λογαρίθµου του αντίστροφου του δείκτη κατάστασης σε σχέση µε τη σταθερά διάδοσης β0. Θυµίζουµε πως οι ζητούµενοι ρυθµοί β0 οι οποίοι τελικά κυµατοδηγούνται από την ηµιτονοειδή διάταξη εµφανίζονται στο σχήµα αυτό ως τοπικά ελάχιστα. Οι τιµές οι οποίες χρησιµοποιήσαµε είναι: k0=100, bmin=-3500, bmax=3500, L1=1500, N=5, d=0.001, M=0.5, L=0.1*2*pi/100, ενώ έχουµε θεωρήσει δείκτες διάθλασης η0=1 και η1=2. Όλες οι µονάδες είναι στο SI και κανονικοποιούνται εσωτερικά στις συναρτήσεις. Να σηµειωθεί ότι το d έχει επιλεχθεί αρκετά µικρό ώστε στη συγκεκριµένη συχνότητα να διαδίδεται ένας µόνο βασικός ρυθµός.
    
    Σχήµα 3.1 Εξάρτηση του λογαρίθµου του δείκτη κατάστασης του πίνακα του οµογενούς προβλήµατος σε σχέση µε τη σταθερά διάδοσης β0. Εµφανίζονται άρτιοι και περιττοί ρυθµοί, διαδιδόµενοι κατά τη θετική αλλά και κατά την αρνητική φορά, ταυτόχρονα µε όλους τους περιοδικούς αρµονικούς ρυθµούς αυτών. k0=100, bmin=-3500, bmax=3500, L1=1500, N=5, d=0.001, M=0.5, L=0.1*2*pi/100
    
    Ας εξηγήσουµε τώρα ποιοι ακριβώς ρυθµοί εµφανίζονται και µε ποια λογική. Καταρχάς, οι βασικοί ρυθµοί είναι οι ρυθµοί 1 και 2 οι οποίοι εµφανίζονται κοντά στο µηδέν. Βρίσκονται πάντοτε µέσα στο διάστηµα [k0η0, k0η1], δηλαδή στο ίδιο διάστηµα στο οποίο επιτρέπεται να βρίσκονται και οι βασικού ρυθµοί του απλού κυµατοδηγού χωρίς την ασυνέχεια. Ο ρυθµός 1 αντιστοιχεί σε άρτια κύµατα, και ο ρυθµός 2 στα περιττά κύµατα, πάντα προς την
    
    47
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    θετική κατεύθυνση. Οι τιµές τους βρίσκονται πολύ κοντά στις τιµές του απλού κυµατοδηγού, αλλά όχι ακριβώς αφού υπάρχει ο παράγοντας Μ ο οποίος εκφράζει την ασυνέχεια. Για Μ=0 πάντως οι τιµές είναι πανοµοιότυπες. Ξεκινώντας τώρα από το ρυθµό 1 που µόλις αναφέραµε, και σε απόσταση ίση µε µία περίοδο (ή πιο σωστά συχνότητα) 2π/L, βρίσκουµε την πρώτη αρµονική του ρυθµού αυτού, το ρυθµό β1=β0+2π/L. Σε απόσταση ακόµα 2π/L βρίσκεται η δεύτερη αρµονική των αρτίων κυµάτων β2 και ούτω καθεξής µέχρι το άπειρο. Η ίδια επέκταση ισχύει και προς την αρνητική διεύθυνση: σε απόσταση 2π/L προς τα αριστερά από το βασικό ρυθµό 1, βρίσκεται η πρώτη αρµονική β-1, και συνεχίζοντας έτσι µέχρι το άπειρο και προς τα αριστερά. Η ίδια ακριβώς κατάσταση συµβαίνει και για τα περιττά κύµατα, το ρυθµό 2. Σε αποστάσεις 2π/L διαδοχικά τόσο προς τα αριστερά όσο και προς τα δεξιά και µέχρι το άπειρο συναντάµε τις αρµονικές του. Τα παραπάνω αφορούν µόνο τους ρυθµούς που οδεύουν προς τη θετική κατεύθυνση (προς τα θετικά z). Ο ρυθµός ο οποίος συµβολίζεται µε 1’ είναι ο ρυθµός –β0 των αρτίων κυµάτων ο οποίος οδεύει προς τα αρνητικά z. Η πρώτη αρµονική του ρυθµού αυτού προς τα δεξιά εµφανίζεται στα θετικά β0, ενώ εµφανίζονται φυσικά και όλες οι άλλες αρµονικές του και προς τις δύο διευθύνσεις. Όµοια, ο ρυθµός 2’ είναι ο ρυθµός των περιττών κυµάτων ο οποίος οδεύει προς τα αρνητικά z, ενώ εµφανίζονται οι περιοδικές αρµονικές του προς τα αριστερά και τα δεξιά µέχρι το άπειρο. Η βασική τετράδα των ρυθµών είναι αυτή που µας ενδιαφέρει σαν αποτέλεσµα, καθώς όλοι οι υπόλοιποι ρυθµοί εµφανίζονται επαναληπτικά σε αποστάσεις µίας περιόδου µέχρι το άπειρο και γνωρίζουµε ακριβώς τις θέσεις τους αν γνωρίζουµε τις θέσεις της βασικής τετράδας. Φυσικά δεν είναι πάλι απαραίτητο να υπολογίζουµε και τους ρυθµούς που οδεύουν προς τα αρνητικά αφού και αυτοί προκύπτουν άµεσα εφόσον γνωρίζουµε τους αντίστοιχους ρυθµούς οι οποίοι οδεύουν προς τα θετικά. Έτσι αρκεί να αναζητούµε ρυθµούς µόνο στο διάστηµα [k0η0, k0η1]. Μία εύλογη απορία είναι µήπως πρέπει να αναζητούµε µιγαδικές σταθερές διάδοσης, δηλαδή να έχουν και κάποιο µικρό φανταστικό µέρος το οποίο να αντιστοιχεί σε απώλειες λόγω της ασυνέχειας. Άλλωστε οι εξισώσεις έχουν µιγαδικούς συντελεστές, εποµένως είναι λογικό και οι σταθερές διάδοσης να έχουν µιγαδική τιµή. Όταν προσπαθήσαµε όµως να λύσουµε αριθµητικά το πρόβληµα υπό αυτή την προϋπόθεση, το φανταστικό µέρος έµενε συνεχώς στο µηδέν. Οπότε ή δεν υπάρχει καθόλου φανταστικό µέρος ή είναι τόσο µικρό ώστε να θεωρείται αµελητέο. Σε αυτό το σηµείο πρέπει να ξεκαθαρίσουµε το πώς επηρεάζουν θεωρητικά οι γεωµετρικές παράµετροι της διάταξης τη θέση εµφάνισης των ρυθµών. Καταρχήν, το πλάτος d του διηλεκτρικού κυµατοδηγού ρυθµίζει τη θέση των δύο ρυθµών στο διάστηµα [k0η0, k0η1]. Όσο πιο µικρό είναι το d, τόσο πιο κοντά στη θέση k0η0 θα εµφανιστεί ο βασικός ρυθµός των αρτίων κυµάτων, και µάλιστα την προσεγγίζει µε ασυµπτωτικό τρόπο καθώς το d µικραίνει. Τονίζουµε ότι όσο µικραίνει το d τόσο πιο µονορυθµική γίνεται η διάταξη. Υπάρχει φυσικά κάποιο όριο του d όπου αν γίνει αρκετά µεγάλο τότε στη συγκεκριµένη συχνότητα θα κυµατοδηγηθούν και άλλοι ρυθµοί, δηλαδή θα εµφανιστεί στις λύσεις αυτόµατα και µία δεύτερη βασική τετράδα ρυθµών µε όλες τις περιοδικές αρµονικές της. Το πλάτος ε της περιοδικότητας (ή ισοδύναµα ο δείκτης διαµόρφωσης Μ αυτής) ρυθµίζει τη θέση των ρυθµών. Για Μ=0, οι βασικού ρυθµοί εµφανίζονται στην ίδια ακριβώς θέση µε τους ρυθµούς του απλού ιδανικού κυµατοδηγού. Καθώς το Μ µεγαλώνει και πλησιάζει τη µονάδα, οι ρυθµοί µικραίνουν ελαφρώς και οι µεν θετικοί κινούνται προς τα αριστερά, οι δε αρνητικοί προς τα δεξιά. Αυτό είναι λογικό αν σκεφτούµε πως µικρότερη σταθερά διάδοσης β0 σηµαίνει µικρότερη ευκολία κυµατοδήγησης στη διάταξη. Είναι επόµενο βέβαια ότι όσο µεγαλώνει το πλάτος της ασυνέχειας οι ρυθµοί να κυµατοδηγούνται µε µεγαλύτερη δυσκολία. Η
    
    48
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    διαφορά αυτή που εµφανίζεται αντιστοιχεί σε ενέργεια η οποία διαφεύγει, ακτινοβολείται στον εξωτερικό του κυµατοδηγού χώρο. Η ασυνέχεια αναγκάζει ένα τµήµα της ενέργειας των κυµάτων να ακτινοβοληθεί στον έξω χώρο. Η χωρική περίοδος L της περιοδικότητας, δεν επηρεάζει καθόλου τις θέσεις των βασικών ρυθµών, αλλά ρυθµίζει µονάχα την απόσταση µεταξύ των αρµονικών. Μικρή χωρική περίοδος αποµακρύνει τις αρµονικές µεταξύ τους, στέλνοντάς τες προς το άπειρο. Αυτή είναι µια συµπεριφορά η οποία σταδιακά προσεγγίζει τη συµπεριφορά του απλού κυµατοδηγού. Πράγµατι, µπορεί να σκεφτεί κανείς ότι όταν η χωρική είναι αρκετά µικρή (σε σχέση µε το µήκος κύµατος λ), τότε επειδή το µήκος κύµατος θα είναι πολύ µεγαλύτερο δεν θα είναι ικανό να “βλέπει” την ασυνέχεια, αλλά θα “νοµίζει” πως βρίσκεται µέσα σε ιδανικό κυµατοδηγό µε επίπεδες επιφάνειες. Στη συνέχεια, καθώς η περίοδος L µεγαλώνει, οι ρυθµοί πλησιάζουν µεταξύ τους, οι αποστάσεις µεταξύ τους συρρικνώνονται. Στην περίπτωση αυτή είναι δυνατό να εισέλθουν οι αρµονικοί ρυθµοί στο διάστηµα [k0η0, k0η1], από τη δεξιά µεριά. Σαν εικόνα µπορούµε να φανταστούµε πως στην περίπτωση αυτή το µήκος κύµατος είναι αρκετά µικρότερο από τη χωρική περίοδο και έτσι “βλέπει” όλες τις περιοδικές µεταβολές κατά µήκος της επιφάνειας του κυµατοδηγού. Τότε εµφανίζονται οι µεγαλύτερες αποκλίσεις από την ιδανική περίπτωση, και άρα και η µεγαλύτερη ένταση ακτινοβολούµενης ενέργειας. Από το κεφάλαιο αυτό κρατάµε την τιµή για το βασικό ρυθµό β0 τον οποίο κυµατοδηγεί η διάταξη. Την τιµή αυτή θα χρησιµοποιήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο, όπου παρουσία της ρευµατικής διέγερσης θα εκφράσουµε τα πεδία σε όλο το χώρο σαν επαλληλία των ιδιοσυναρτήσεων όλων των αρµονικών περιοδικών ρυθµών.
    
    In three years a woman will be 12 times older that her child. In nine years she will be 4 times older than her child. What is she doing now?
    
    49
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    50
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    ΑΕΙ Ο ΘΕΟΣ Ο ΜΕΓΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ ΤΟ ΚΥΚΛΟΥ ΜΗΚΟΣ ΙΝΑ ΟΡΙΣΕΙ ∆ΙΑΜΕΤΡΩ ΠΑΡΗΓΑΓΕΝ ΑΡΙΘΜΟΝ ΑΠΕΡΑΝΤΟΝ ΚΑΙ ΟΝ ΦΕΥ! ΟΥ∆ΕΠΟΤΕ ΟΛΟΝ ΘΝΗΤΟΙ ΘΑ ΕΥΡΩΣΙ
    
    314159 265368 979 323 84626
    
    Κεφάλαιο 4 Το µη οµογενές πρόβληµα
    Στο κεφάλαιο αυτό λύνουµε το πρόβληµα παρουσία της ρευµατικής διέγερσης. Εκφράζουµε το πεδίο σε κάθε σηµείο του χώρου σαν επαλληλία των ρυθµών κυµατοδήγησης όπως τους έχουµε υπολογίσει στο προηγούµενο κεφάλαιο, και εφαρµόζουµε τις οριακές συνθήκες στις επιφάνειες που χωρίζουν τους χώρους. Έτσι προκύπτει ένα γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους τους συντελεστές ανάπτυξης του πεδίου.
    
    51
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    4.1 Το µη οµογενές πρόβληµα
    Θεωρούµε τη διάταξη η οποία φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Σε απόσταση δ από την πάνω περιοδική επιφάνεια του κυµατοδηγού κινείται η γραµµή ρεύµατος. Έχουµε δείξει ότι στο χώρο της συχνότητας η γραµµή ρεύµατος ισοδυναµεί µε ένα επιφανειακό ρεύµα µε σταθερό µέτρο κατά µήκος όλης της επιφάνειας.
    z I 0 − jω υ ˆ J s (z, ω) = y e υ
    
    (4.1)
    
    Σχήµα 4.1 Η διάταξη του µη οµογενούς προβλήµατος. Ο διηλεκτρικός κυµατοδηγός έχει δείκτη διάθλασης η1 και ο έξω χώρος η0. Σε απόσταση δ και παράλληλα προς τον κυµατοδηγό κινείται µια άπειρη ως προς y γραµµή ρεύµατος µε ταχύτητα υ η οποία και διεγείρει κύµατα στο εσωτερικό του κυµατοδηγού.
    
    Ο χώρος στην περίπτωση του µη οµογενούς προβλήµατος χωρίζεται σε 4 περιοχές. Οι περιοχές 3 και 4 είναι όµοιες µε αυτές του οµογενούς προβλήµατος, ενώ η προηγούµενη περιοχή 2 τώρα χωρίζεται σε δύο περιοχές, τις 1 και 2. Η περιοχή 2 είναι το τµήµα του χώρου πάνω από τον διηλεκτρικό κυµατοδηγό και µέχρι το επιφανειακό ρεύµα, και η περιοχή 1 από το ρεύµα και πάνω. Σε κάθε µία από τις περιοχές πρέπει να λυθεί η εξίσωση του Helmholtz σε δύο διαστάσεις
     ∂2 ∂2 2 2  2 + 2 + k 0 η  Ey = 0  ∂x ∂z 
    (4.2)
    
    Οι µορφή των λύσεων έχουµε δείξει ότι είναι της µορφής (1.23)
    
    52
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Ey (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑A
    
    +∞
    
    n
    
    (x)e− jβn z
    
    βn = β 0 +
    
    2π n L
    
    (4.3)
    
    οπότε και θα υπολογισθούν οι συναρτήσεις An(x) µε µια πολλαπλασιαστική σταθερά µπροστά. Στη συνέχεια θα εφαρµόσουµε τις εξισώσεις συνέχειας για το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο, όπου τώρα θα υπάρχει και η παρουσία του ρεύµατος
    E y 3 ( x = −d / 2 ) = E y 4 ( x = − d / 2 ) H z 3 ( x = −d / 2 ) = H z 4 ( x = −d / 2 ) Ey 2 ( x = +d / 2 + εf (z) ) = Ey 3 ( x = + d / 2 + εf (z) ) H z 2 ( x = + d / 2 + εf (z) ) = H z 3 ( x = + d / 2 + εf (z) ) Ey1 ( x = +d / 2 + δ ) = Ey 2 ( x = + d / 2 + δ ) H z1 ( x = +d / 2 + δ ) − H z 2 ( x = + d / 2 + δ ) = − J s ( x = + d / 2 + δ )                 
    
    (4.4)
    
    οπότε και θα προκύψει ένα οµογενές σύστηµα µε αγνώστους τις πολλαπλασιαστικές σταθερές των πεδίων σε κάθε περιοχή. Θα απαιτήσουµε το σύστηµα αυτό να έχει µη τετριµµένη λύση (δηλαδή µη µηδενική) εποµένως η ορίζουσά του να είναι µηδέν, και από την εξίσωση που θα προκύψει θα υπολογιστούν οι τιµές του β0 για κάθε τιµή της συχνότητας ω. Το πρώτο βήµα είναι να τοποθετήσουµε τη µορφή του πεδίου (4.3) στην εξίσωση (4.2). Η διαδικασία είναι όµοια µε αυτή που ακολουθήσαµε στο κεφάλαιο 2.
    
     ∂2  +∞ ∂2 2 + 2 + k 0 η2  ∑ A n (x)e − jβn z 2  ∂x ∂z  n =−∞
    +∞
    
    =0
    
    ⇒
    
     ∂2  ∂2 2 A n (x)] e − jβn z + A n (x) 2  e − jβn z  + k 0 η2 A n (x)e − jβn z  = 0 ⇒ ∑  ∂x 2 [  ∂z  n =−∞    d 2 An ∑ 2 n =−∞  dx
    +∞
    
    (4.5)
    
    2 + A n (x) −βn
    
    (
    
    )
    
     2 + k 0 η2 A n (x)  e − jβn z = 0 
    
    53
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Στο σηµείο αυτό µπορούµε να εκµεταλλευτούµε την ορθογωνιότητα των συναρτήσεων e − jβn z για να αποφύγουµε το άπειρο άθροισµα. Έτσι πολλαπλασιάζουµε µε e + jβm z και ολοκληρώνουµε σε µία περίοδο, από 0 έως L.
     d 2 An ∫ n∑  dx2 0 =−∞ 
    L +∞
    
    2 + A n (x) −βn
    
    (
    
    )
    
     2 + k 0 η2 A n (x) e + jβm z e − jβn z dz = 0 
    
    ⇒
    (4.6)
    
      d 2 An  ∑   dx2 n =−∞   
    +∞
    
    −
    
    (β
    
    2 n
    
     L  2 − k 0 η2 A n (x)  ∫ e + jβm z e − jβn z dz  = 0  0 
    
    )
    
    Όµως ισχύει
    + jβ z − jβ z ∫ e m e n dz =
    
    L
    
    0
    
    ∫e
    0
    
    L
    
    +j
    
    2π (m−n)z L
    
    dz = L δ ( m − n )
    
    (4.7)
    
    (εδώ είναι το δέλτα του Kronecker) και εποµένως από το άθροισµα µένει µόνο ο όρος για m=n.
    
    d 2 An dx 2
    ο οποίος γράφεται καλύτερα
    
    −
    
    (β
    
    2 n
    
    2 − k 0 η2 ) A n (x) = 0
    
    (4.8)
    
    d 2 An dx 2
    
    2 − g n A n (x) = 0
    
    2 2 2 g n = β n − k 0 η2
    
    (4.9)
    
    Εποµένως διαπιστώνουµε ότι οι συναρτήσεις An ικανοποιούν τη γνωστή κυµατική εξίσωση της οποίας οι λύσεις είναι γνωστές. Από εδώ και πέρα χρειάζεται να εξειδικεύσουµε τις λύσεις ανάλογα µε το ποια περιοχή µας ενδιαφέρει. Στην περιοχή 1 θα επιλέξουµε ως λύσεις εκθετικές συναρτήσεις του x, και µάλιστα τη συνάρτηση εκείνη η οποία φθίνει καθώς το x πλησιάζει το άπειρο, καθώς πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη
    
    lim Ey1 (x, z) = 0
    x →∞
    
    (4.10)
    
    Έτσι στην περιοχή αυτή έχουµε (µε n=n0 και g=g0)
    
    54
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    A1n (x) = α1n e − g0n x
    (4.11)
    2 22 g 0n = βn − k 0 η0
    
    ή καλύτερα για να διευκολυνθούµε στις οριακές συνθήκες στη συνέχεια
    d − g 0n  x − −δ  2
    
    A1n (x) = α 1ne
    
    (4.12)
    
    g 0n
    
    2π   22 =  β0 + n − k 0 η0 L  
    
    2
    
    Τώρα οι συντελεστές α1n είναι σταθεροί µιγαδικοί αριθµοί, άγνωστοι για την ώρα. Στην περιοχή 2 (µε n=n0 και g=g0) θα διατηρήσουµε την πλήρη λύση µε τα δύο εκθετικά ως προς x
    A 2n (x) = α 2ne
    d − g 0n  x − −δ  2
    
    + b 2ne
    
    d + g 0n  x − −δ  2
    
    (4.13)
    
    g 0n
    
    2π   22 =  β0 + n  − k 0 η0 L 
    
    2
    
    Στην περιοχή 3 (µε n=n1 και g=g1) θα διατηρήσουµε και πάλι την πλήρη λύση µε τα δύο εκθετικά ως προς x
    A 3n (x) = α 3ne
     d − g1n  x −   2
    
    + b 3n e
    
     d + g1n  x −   2
    
    (4.14)
    
    2π   22 g1n =  β 0 + n − k 0 η1 L  
    
    2
    
    Στην περιοχή 4 θα πρέπει να ισχύει η συνθήκη
    
    55
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    x →−∞
    
    lim Ey 4 (x, z) = 0
    
    και εποµένως η λύση γράφεται
    A 4n (x) = α 4ne
     d + g 0n  x +   2
    
    (4.15)
    
    g 0n
    
    2π   22 =  β0 + n − k 0 η0 L  
    
    2
    
    Συνδυάζοντας τώρα τις εξισώσεις (4.12), (4.13), (4.14), (4.15) πίσω µε την (4.3), αποκτάµε την τελική µορφή των λύσεων Floquet για τα πεδία σε όλο το χώρο.
    
    Ey1 (x, z) =
    
    n =−∞ +∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    1n
    
    e
    
    d − g0n  x − −δ   2  − jβn z
    
    e
    
    d d  − g 0n  x − −δ  + g 0n  x − −δ   2 Ey 2 (x, z) = ∑  α 2n e + b 2n e  2   e − jβn z   n =−∞    d  d +∞  − g1n  x −  + g1n  x −   Ey 3 (x, z) = ∑  α 3n e  2  + b 3ne  2   e − jβn z   n =−∞  
    
    Ey 4 (x, z) =
    
    n =−∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    α 4ne
    
     d + g 0n  x +   2  − jβn z
    
    e
    
    g 0n
    
    2π   22 =  β0 + n  − k 0 η0 L 
    2
    
    2
    
    2π   22 g1n =  β 0 + n  − k 0 η1 L  2π βn = β 0 + n L
    
    (4.16)
    
    Στις παραπάνω εκφράσεις υπάρχουν 6 άγνωστοι: είναι οι συντελεστές των πεδίων. Επίσης η µόνη παράµετροι του προβλήµατος είναι η συχνότητα (ή ισοδύναµα το k0). Το β0 που εµφανίζεται προκύπτει από το οµογενές πρόβληµα για την εκάστοτε συχνότητα. Τώρα µε τη βοήθεια της ορθογωνιότητας των εκθετικών συναρτήσεων e − jβn z θα εφαρµόζουµε σε κάθε σύνορο τις οριακές συνθήκες.
    
    56
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    4.2 Οριακές Συνθήκες
    
    1η Οριακή συνθήκη
    
    E y 3 ( x = −d / 2 ) = E y 4 ( x = −d / 2 )
    
    ⇒
    
    n =−∞
    
    ∑ (α
    
    +∞
    
    3n
    
    e + g1nd + b 3ne − g1nd e− jβn z =
    
    )
    
    n =−∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    4n
    
    e − jβn z
    
    ⇒
    
    α 3ne + g1nd + b 3ne − g1nd = α 4n
    
    (4.17)
    
    2η Οριακή συνθήκη
    ∂E y 3 ∂x
    +∞
    
    ( x = −d / 2 )
    
    =
    
    ∂E y 4 ∂x
    
    ( x = −d / 2 )
    
    ⇒
    +∞
    
    n =−∞
    
    ∑ ( −g
    
    + g1n d + g1n b 3ne − g1nd e − jβn z = 1n α 3n e
    
    )
    
    n =−∞
    
    ∑g
    
    0n
    
    α 4n e− jβn z
    
    ⇒
    
    − g1n α 3n e + g1nd + g1nb 3ne − g1nd = g 0n α 4n g1n + g1nd g e α 3n + 1n e − g1nd b 3n = α 4n g 0n g 0n
    
    ⇒
    
    −
    
    (4.18)
    
    Απαλείφοντας το συντελεστή α4n από τις σχέσεις (4.17), (4.18) προκύπτει
    
    b 3n = −α 3n pn
    (4.19)
    
    pn = e +2g1nd
    
    g 0n + g1n g 0n − g1n
    
    Η παράµετρος pn συνδέει τους συντελεστές b3n και α3n , και θα την χρησιµοποιήσουµε αυτούσια από εδώ και στο εξής, όπως και στο οµογενές πρόβληµα.
    
    57
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    3η Οριακή συνθήκη Ερχόµαστε τώρα στο σηµείο να ικανοποιήσουµε τη συνέχεια των πεδίων πάνω στην περιοδική επιφάνεια. Όπως είπαµε, η επιφάνεια περιγράφεται από τη σχέση
    x= d + ε fL (z) 2
    (4.20)
    
    δηλαδή πρόκειται για µια περιοδική συνάρτηση γύρω από d/2 µε πλάτος ε και περίοδο L.
    
    Ey 2 ( x = +d / 2 + ε fL (z) ) = Ey 3 ( x = + d / 2 + ε fL (z) )
    
    ⇒
    
    n =−∞
    
    ∑ (α ∑(
    +∞
    
    +∞
    
    + g 0n δ − g 0n ε fL (z ) e + b 2ne − g0n δ e+ g0n ε fL (z ) e − jβn z = 2n e
    
    ) )
    
    n =−∞
    
    ∑ (α ∑(
    +∞
    
    +∞
    
    3n
    
    e− g1n ε fL (z ) + b 3n e+ g1nε fL (z ) e − jβn z
    2π nz L
    
    )
    
    ⇒
    
    n =−∞
    
    α 2ne + g0n δ e − g0n ε fL (z ) + b 2ne − g0n δ e+ g0n ε fL (z ) e
    
    −j
    
    2π nz L
    
    =
    
    n =−∞
    
    α 3ne − g1n ε fL (z ) + b 3n e + g1n ε fL (z ) e
    
    )
    
    −j
    
    (4.21)
    
    Στην παραπάνω σχέση δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε άµεσα την ορθογωνιότητα για τις συναρτήσεις e L διότι υπάρχουν και άλλες παράµετροι οι οποίες εξαρτώνται από τη µεταβλητή z. Ο µόνος τρόπος για να αποφευχθεί αυτό το τέλµα είναι να αναπτύξουµε τις προβληµατικές συναρτήσεις ως προς z, δηλαδή τις e ± gn ε fL (z ) , σαν ανάπτυγµα σε σειρά των ιδιοσυναρτήσεων βάσης e
    +j −j
    
    2π
    
    nz
    
    2π nz L
    
    , δηλαδή
    
    e± gnε fL (z ) =
    
    κ=−∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    Tκ ( ± gn ε ) e
    
    +j
    
    2π κz L
    
    (4.22)
    
    όπου οι συναρτήσεις Tκ,n είναι οι συντελεστές ανάπτυξης, οι οποίοι υπολογίζονται από τη σχέση
    
    Tκ ,n = Tκ ( ± g n ε ) =
    και θεωρούνται εποµένως γνωστοί.
    
    1 L
    
    ∫e
    0
    
    L
    
    ± gn ε fL (z )
    
    e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz
    
    (4.23)
    
    58
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Αντικαθιστούµε τώρα την (4.22) στην (4.21):
    2π 2π 2π +∞ +∞  +j κz  +j κz  −j nz + g 0n δ  − g 0n δ  L L  + b 2ne  ∑ Tκ ( + g 0n ε ) e e L ∑  α 2ne  κ∑ Tκ ( −g0nε ) e   n = −∞   = −∞   κ = −∞  +∞
    
    =
    
    =
    
    2π 2π 2π  +j κz  +j κ z  −j nz  +∞  +∞  α 3n  ∑ Tκ ( −g1n ε ) e L  + b 3n  ∑ Tκ ( + g1nε ) e L   e L ∑  κ = −∞  n = −∞     κ = −∞  +∞
    
    (4.24)
    
    n = −∞ κ = −∞
    
    ∑ ∑(
    +∞ +∞
    
    +∞
    
    +∞
    
    α 2n e + g0n δ Tκ ( −g 0n ε ) + b 2n e − g0n δ Tκ ( + g 0n ε ) e
    3n
    
    )
    
    −j
    
    2π (n − κ) z L
    
    =
    (4.25)
    
    =
    
    n = −∞ κ = −∞
    
    ∑ ∑ (α
    
    Tκ ( − g1n ε ) + b 3n Tκ ( + g1n ε ) )e
    
    −j
    
    2π (n − κ) z L
    
    Εφόσον η πληροφορία για τη µεταβλητή z έχει µεταφερθεί στις συναρτήσεις βάσεις, µπορούµε τώρα να εκµεταλλευτούµε την ορθογωνιότητά τους: πολλαπλασιάζουµε µε e L και ολοκληρώνουµε από 0 έως L. Έτσι από το άθροισµα ως προς n θα µείνει µόνο ο όρος µε n=m+κ, ενώ το άθροισµα ως προς κ θα παραµείνει.
    +j 2π mz
    
    κ = −∞
    
    ∑α ∑α
    +∞
    
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    e
    
    + g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( − g 0(m + κ )ε ) + b 2(m + κ ) e
    
    − g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( + g 0(m + κ )ε ) =
    (4.26)
    
    =
    
    κ = −∞
    
    3(m + κ )
    
    Tκ ( − g1(m + κ )ε ) + b 3(m + κ )Tκ ( + g1(m + κ )ε )
    
    4η Οριακή συνθήκη Με παρόµοιο τρόπο τώρα θα εξάγουµε και τη σχέση για τη συνέχεια του µαγνητικού πεδίου.
    
    59
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    H z 2 ( x = + d / 2 + ε fL (z) ) = H z 3 ( x = + d / 2 + ε fL (z) ) ∂E y 2 ∂x
    +∞
    
    ⇒
    
    ( x = +d / 2 + ε fL (z))
    
    =
    
    ∂E y 3 ∂x
    
    ( x = +d / 2 + ε fL (z))
    
    ⇒
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −g
    +∞
    
    0n
    
    α 2ne + g0n δe − g0n ε fL (z ) + b 2n g 0n e− g0n δe + g0n ε fL (z ) e − jβn z = g1n e − g1n ε fL (z ) + b 3n g1n e+ g1n ε fL (z ) e− jβn z
    2π nz L
    
    )
    
    =
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −α
    +∞
    
    3n
    
    )
    
    ⇒
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −g
    +∞
    
    0n
    
    α 2ne
    
    + g 0n δ − g 0n ε fL (z )
    
    e
    
    + b 2n g 0n e
    
    − g 0n δ + g 0n ε fL (z )
    
    e
    
    )e
    
    −j
    
    =
    (4.27)
    
    =
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −α
    
    3n
    
    g1n e
    
    − g1n ε fL (z )
    
    + b 3n g1n e
    
    + g1n ε fL (z )
    
    )e
    
    −j
    
    2π nz L
    
    Χρησιµοποιούµε και πάλι το ανάπτυγµα
    
    e
    
    ± gn ε fL (z )
    
    =
    
    κ=−∞
    
    ∑ T ( ±g ε ) e
    κ n
    1 L
    
    +∞
    
    +j
    
    2π κz L
    
    (4.28)
    
    Tκ ,n = Tκ ( ± g n ε ) =
    Αντικαθιστούµε τώρα την (4.28) στην (4.27):
    
    ∫
    0
    
    L
    
    e ± gn ε fL (z )e
    
    −j
    
    2π κz L
    
    dz
    
    (4.29)
    
    2π 2π 2π +∞ +∞  +j κz  +j κz  −j nz + g 0n δ  − g 0n δ  L L =  + b 2n g 0n e  ∑ Tκ ( + g 0n ε ) e e L ∑  −g0nα 2ne  κ∑ Tκ ( −g0nε ) e   n = −∞   = −∞   κ = −∞  2π 2π 2π +∞  +j κz  +j κ z  −j nz  +∞  +∞ = ∑  −α 3n g1n  ∑ Tκ ( − g1n ε ) e L  + b 3n g1n  ∑ Tκ ( + g1nε ) e L   e L   n = −∞   κ = −∞   κ = −∞  +∞
    
    (4.30)
    
    n = −∞ κ = −∞
    
    ∑ ∑(
    +∞ +∞
    
    +∞
    
    +∞
    
    −α 2n g 0n e + g0n δ Tκ ( −g 0n ε ) + b 2n g 0n e − g0n δ Tκ ( + g 0nε ) e
    3n
    
    )
    
    −j
    
    2π (n − κ ) z L
    
    =
    (4.31)
    
    =
    
    n = −∞ κ = −∞
    
    ∑ ∑ ( −α
    
    g1n Tκ ( − g1n ε ) + b 3n g1n Tκ ( + g1nε ) ) e
    
    −j
    
    2π (n − κ) z L
    
    60
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Τώρα πολλαπλασιάζουµε µε e L και ολοκληρώνουµε από 0 έως L. Παρόµοια, από το άθροισµα ως προς n εξαιτίας της ορθογωνιότητας θα µείνει µόνο ο όρος µε n=m+κ, ενώ το άθροισµα ως προς κ θα παραµείνει.
    
    +j
    
    2π
    
    mz
    
    κ = −∞
    
    ∑ −α ∑ −α
    +∞
    
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    g 0(m + κ ) e
    
    + g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( − g 0(m + κ )ε ) + b 2(m + κ ) g 0(m + κ ) e
    
    − g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( + g 0(m + κ )ε ) =
    
    =
    
    κ = −∞
    
    3(m + κ )
    
    g1(m + κ ) Tκ ( − g1(m + κ )ε ) + b 3(m + κ ) g1(m + κ ) Tκ ( + g1(m + κ )ε )
    (4.32)
    
    5η Οριακή συνθήκη Θα εφαρµόσουµε τώρα την πρώτη οριακή συνθήκη στην επιφάνεια όπου βρίσκεται η γραµµή ρεύµατος.
    
    Ey1 ( x = +d / 2 + δ ) = Ey1 ( x = + d / 2 + δ )
    
    ⇒
    (4.33)
    
    n = −∞
    
    ∑α
    
    +∞
    
    1n
    
    e − jβn z =
    
    n = −∞
    
    ∑ (α
    
    +∞
    
    2n
    
    + b 2n ) e − jβn z
    
    ⇒
    
    α1n = α 2n + b 2n
    
    (4.34)
    
    61
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    6η Οριακή συνθήκη Η τελευταία οριακή συνθήκη εισάγει και τη διέγερση στις µέχρι τώρα οµογενείς εξισώσεις µας.
    H z1 ( x = +d / 2 + δ ) − H z 2 ( x = + d / 2 + δ ) = J s ( x = + d / 2 + δ ) I − jω z 1 ∂Ey1 1 ∂E y 2 + =− 0e υ jωµ 0 ∂x jωµ 0 ∂x υ − ∂E y 2 ∂x = jωµ 0
    z I 0 − jω υ e υ
    
    ⇒
    
    −
    
    ⇒
    
    (4.35)
    
    ∂Ey1 ∂x
    +∞
    
    ⇒
    
    n = −∞
    
    ∑ −α
    
    1n
    
    g 0ne
    
    − jβn z
    
    −
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −α
    
    +∞
    
    2n
    
    g 0n + b 2n g 0n ) e
    
    − jβn z
    
    z I 0 − jω υ = jωµ 0 e υ
    
    (4.36)
    
    Στο σηµείο αυτό και για να µπορέσουµε να εξάγουµε µια εξίσωση ως προς τους άγνωστους συντελεστές, θα πρέπει τη συνάρτηση διέγερσης στο δεξί µέλος της (4.35) να την εκφράσουµε σαν άθροισµα των ιδιοσυναρτήσεων βάσης του προβλήµατος. ∆ηλαδή πρέπει να υπολογίσουµε τους συντελεστές cn για τους οποίους
    
    jωµ 0
    
    z +∞ I 0 − jω υ I +∞ e = jωµ 0 0 ∑ c'n e − jβn z = − ∑ cne− jβn z υ υ n = −∞ n = −∞
    
    (4.37)
    
    δηλαδή αρκεί να βρούµε τους συντελεστές ανάπτυξης
    e
    − jω z υ
    
    =
    
    n = −∞
    
    ∑ c'
    
    +∞
    
    n
    
    e − jβn z
    
    (4.38)
    
    οι οποίοι φυσικά υπολογίζονται χρησιµοποιώντας τη σχέση ορθογωνιότητας από τη σχέση
    z 1 − jω υ + jβn z c'n = ∫ e e dz Lo L
    
    (4.39)
    
    Εκτελώντας απλές πράξεις έχουµε
    
    62
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    c'n =
    
    z 1 − jω υ + jβn z ee dz L∫ o
    
    L
    
    =
    
    1 + j βn − υ  z ∫ e   dz = Lo
    (4.40)
    L
    
    L
    
    
    
    ω
    
    =
    
    + j  βn −  z 1 1 e  υ ω L j  βn −  υ 
    
    
    
    ω
    
    0
    
     + j β n − ω  L    1 1 =  e  υ  − 1  ω L  j  βn −   υ 
    
    ⇒
    
    c'n
    
     + j β0 −  L  j = 1 − e  υ    ω    β 0 − υ  L + 2πn   
     ω
    
    (4.41)
    
    Εποµένως συνολικά έχουµε για τους συντελεστές της διέγερσης
    
    cn
    
     + j β 0 −  L  ωµ 0I 0 1 =+ 1 − e  υ    ω υ  β0 −  L + 2πn   υ 
     ω
    
    (4.42)
    
    Αφού υπολογίσαµε τους συντελεστές cn, η σχέση (4.36) µε τη βοήθεια της (4.37) γράφεται
    
    n = −∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    −α 1n g 0ne − jβn z −
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −α 2ng0n + b 2ng 0n ) e− jβ z
    n
    
    +∞
    
    =−
    
    n = −∞
    
    ∑ce
    n
    
    +∞
    
    − jβn z
    
    (4.43)
    
    Εφαρµόζοντας τώρα άµεσα την ορθογωνιότητα παίρνουµε
    
    n = −∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    −α 1n g 0ne − jβn z −
    
    n = −∞
    
    ∑ ( −α 2ng 0n + b 2ng 0n ) e− jβ z
    n
    
    +∞
    
    =−
    
    n = −∞
    
    ∑ce
    n
    
    +∞
    
    − jβn z
    
    ⇒
    (4.44)
    
    −α 1n g 0n + α 2n g 0n − b 2n g 0n = −cn cn g 0n
    
    ⇒
    
    α 1n = α 2n − b 2n +
    
    (4.45)
    
    Συνδυάζοντας την παραπάνω (4.45) µε την (4.34) παίρνουµε εύκολα
    
    63
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    b 2n =
    
    cn 2g 0n
    
    (4.46)
    
    Για να ολοκληρώσουµε την επίλυση των οριακών συνθηκών, στις σχέσεις (4.26) και (4.32) αντικαθιστούµε τις (4.19) και (4.46) οπότε και γίνονται
    
    κ = −∞
    
    ∑α ∑α
    +∞ +∞
    
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    e
    
    + g 0( m + κ ) δ
    
    Tκ ( − g 0(m + κ )ε ) +
    
    c(m + κ ) 2g 0(m + κ )
    
    e
    
    − g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( + g 0(m + κ )ε ) =
    
    =
    
    κ = −∞
    
    3(m + κ )
    
    Tκ ( − g1(m + κ )ε ) − α 3(m + κ ) p(m + κ )Tκ ( + g1(m + κ )ε ) c(m + κ ) 2g 0(m + κ )
    
    κ = −∞
    
    ∑ −α ∑ −α
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    g 0(m + κ ) e
    
    + g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( − g 0(m + κ )ε ) +
    
    g 0(m + κ ) e
    
    − g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( + g 0(m + κ )ε )
    
    =
    
    κ = −∞
    
    3(m + κ )
    
    g1(m + κ ) Tκ ( −g1(m + κ )ε ) − α 3(m + κ ) p(m + κ ) g1(m + κ ) Tκ ( + g1(m + κ )ε )
    (4.47)
    
             =     
    
    Τώρα κρατάµε τους όρους που περιέχουν τους άγνωστους συντελεστές α2n και α3n στο αριστερό µέλος, και µεταφέρουµε τους συντελεστές που περιέχουν τη διέγερση cn στο δεξί, οπότε και οι εξισώσεις γίνονται
    +∞
    
    κ = −∞
    
    ∑α
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    e
    
    + g 0( m + κ ) δ
    
    Tκ ( − g 0(m + κ )ε ) − α 3(m + κ ) Tκ ( − g1(m + κ )ε ) − p(m + κ )Tκ ( + g1(m + κ )ε ) Tκ ( + g 0(m + κ )ε )
    
    (
    
    )
    
    =
    
    =
    
    κ = −∞
    
    ∑ − 2g
    +∞
    
    c(m + κ )
    0(m + κ )
    
    e
    
    − g 0( m +κ ) δ
    
    κ = −∞
    
    ∑α ∑
    +∞
    
    2(m + κ )
    
    g 0(m + κ ) e e
    − g 0( m +κ ) δ
    
    + g 0( m +κ ) δ
    
    Tκ ( − g 0(m + κ )ε ) − α 3(m + κ ) Tκ ( − g1(m + κ )ε ) + p(m + κ ) Tκ ( + g1(m + κ )ε ) g1(m + κ )
    
    (
    
    )
    
    =
    
    c(m + κ ) 2
    
    κ = −∞
    
    Tκ ( + g 0(m + κ )ε )
    (4.48)
    
             =     
    
    Τέλος πραγµατοποιούµε την αλλαγή µεταβλητής m+κ=n, οπότε και έχουµε
    
    64
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    n = −∞
    
    ∑α ∑
    +∞
    
    +∞
    
    2n
    
    e
    
    + g 0n δ
    
    Tn − m ( − g 0n ε )
    
    − α 3n ( Tn − m ( − g1nε ) − pn Tn − m ( + g1n ε ) )
    
    cn e − g0n δ Tn − m ( + g 0nε ) =∑− 2 g 0n n = −∞
    +∞
    
    n = −∞
    
    α 2n e + g0n δ Tn − m ( − g 0n ε ) g 0n − α 3n ( Tn − m ( − g1nε ) + pn Tn − m ( + g1nε ) ) g1n =
    (4.49)
    
    n = −∞
    
    ∑
    
    +∞
    
    +
    
    cn − g0n δ e Tn − m ( + g 0nε ) 2
    
    Οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν για κάθε m από το µείον άπειρο έως το άπειρο, και αποτελούν ένα µη οµογενές γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους όλα τα α2n και α3n. Η µόνη παράµετρος αυτών των εξισώσεων είναι η συχνότητα. Υπολογίζοντας αυτούς τους συντελεστές έχουµε καταφέρει να υπολογίσουµε τα πεδία σε κάθε σηµείο του χώρου και για κάθε συχνότητα. Στο επόµενο κεφάλαιο θα δούµε πώς µπορεί να γίνει η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων αυτών.
    
    65
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    4.3 Σύνοψη Κεφαλαίου
    Τα πεδία στις 4 περιοχές του µη οµογενούς προβλήµατος γράφονται
    Ey1 (x,z) =
    n =−∞ +∞
    
    ∑ α1ne
    
    +∞
    
    d − g0n  x − −δ   2  − jβn z
    
    e
    
    d d  − g0n  x − −δ  + g0n  x − −δ   2 Ey 2 (x,z) = ∑  α 2ne + b2ne  2   e− jβn z   n =−∞   d d   +∞  − g1n  x −  + g1n  x −   Ey 3 (x,z) = ∑  α 3ne  2  + b3ne  2   e− jβn z   n =−∞  
    
    Ey4 (x,z) =
    
    n =−∞
    
    ∑ α4ne
    
    +∞
    
     d + g0n  x +   2  − jβn z
    
    e
    
    Οι συντελεστές υπολογίζονται από τις σχέσεις:
    
    n = −∞
    
    ∑
    +∞
    
    +∞
    
    α 2n e + g0n δ Tn − m ( − g 0n ε )
    
    − α 3n ( Tn − m ( − g1nε ) − pn Tn − m ( + g1nε ) )
    
    =
    
    n = −∞
    
    ∑
    +∞
    
    +∞
    
    −
    
    cn e − g0n δ Tn − m ( + g 0nε ) 2 g 0n cn − g0n δ e Tn − m ( + g 0nε ) 2
    
    n = −∞
    
    ∑α
    
    2n
    
    e + g0n δ Tn − m ( − g 0n ε ) g 0n − α 3n ( Tn − m ( − g1nε ) + pn Tn − m ( + g1nε ) ) g1n =
    
    n = −∞
    
    ∑
    
    +
    
    b 3n = −α 3n pn
    b 2n =
    Όπου
    
    α 4n = α 3n e + g1nd + b 3ne − g1nd α1n = α 2n + b 2n
    
    cn 2g 0n
    
    p n = e +2g1n d
    
    g 0n + g 1n g 0n − g 1n
    2
    
    cn
    
    2π   22 g 0n =  β 0 + n − k 0η0 L  
    2
    
     + j β 0 −  L  ωµ 0I 0 1 =+ 1 − e  υ    ω υ  β 0 −  L + 2 πn   υ 
     ω 1 L ± g ε f (z ) ∫e n L e L −j 2π κz L
    
    2π   22 0 g 1n =  β 0 + n − k 0 η1 L   2π βn = β0 + n L Για τις σηµασίες των συµβόλων συνοπτικά ανατρέξτε στο παράρτηµα Χ.
    
    Tκ ( ± g n ε ) =
    
    dz
    
    66
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Imagine all the things that had to occur, not only in his life but in everyone else’s, to arrange it so at that particular night the Big Bopper would be in a position, to live or die depending on a flipping coin… The X-Files, Clyde Bruckman’s final repose
    
    Κεφάλαιο 5
    Το µη οµογενές πρόβληµα Συµπεράσµατα
    Στο κεφάλαιο αυτό εξάγουµε αριθµητικά αποτελέσµατα θεωρώντας ηµιτονοειδή περιοδική ασυνέχεια. Προσεγγίζουµε το θεωρητικό σύστηµά µας µε ένα άλλο το οποίο λύνεται υπολογιστικά και περιγράφουµε συνοπτικά τις συναρτήσεις σε Matlab οι οποίες χρησιµοποιούνται για την επίλυσή του γραµµικού συστήµατος, την εύρεση των συντελεστών ανάπτυξης και τις τιµές κάθε συνιστώσας του πεδίου σε κάθε σηµείο του χώρου. Οι εντάσεις παρουσιάζονται µε γραφικό τρόπο.
    
    67
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    5.1 Εύρεση των άγνωστων συντελεστών
    Το ζητούµενο του κεφαλαίου αυτού είναι η επίλυση των γραµµικού συστήµατος
    +∞
    
    n = −∞
    
    ∑ ∑
    +∞
    
    α 2n e+ g0n δ Tn − m ( −g 0n ε )
    
    − α 3n ( Tn − m ( −g1nε ) − pn Tn − m ( + g1nε ) )
    
    =
    
    n =−∞
    
    ∑
    +∞
    
    +∞
    
    −
    
    cn e− g0n δ Tn − m ( + g 0nε ) 2 g 0n cn − g0n δ e Tn − m ( + g 0nε ) 2
    
    n = −∞
    
    α 2n e+ g0n δ Tn − m ( −g 0nε ) g 0n − α 3n ( Tn − m ( − g1nε ) + pn Tn − m ( + g1nε ) ) g1n =
    (5.1)
    
    n = −∞
    
    ∑
    
    +
    
    ώστε να βρεθούνε οι άγνωστοι συντελεστές ανάπτυξης των πεδίων. Για τη συνέχεια των πράξεων θα θεωρήσουµε σαν εφαρµογή τη συγκεκριµένη ηµιτονοειδή µορφή περιοδικότητας
    
     2π  fL (z) = sin  z L 
    Στο ενδεχόµενο αυτό οι συντελεστές Τκ υπολογίζονται από τη σχέση
    
    (5.2)
    
    Tκ ( ± g n ε ) =
    όπου από τον εξής ολοκληρωτικό τύπο
    
    1 L
    
    ∫e
    0
    
    L
    
     2π  ± gn ε sin  z  − j 2 π κ z L  L
    
    e
    
    dz
    
    (5.3)
    
    j− n jxcos θ Jn ( x) = e cos ( nθ ) dθ π∫ 0
    
    π
    
    (5.4)
    
    βρίσκουµε ότι είναι ίσοι µε
    
    Tκ ( ± g n ε ) = J κ ( ∓ jg n ε )
    
    (5.5)
    
    Έτσι µε τη βοήθεια της (5.5), η (5.1) γράφεται
    
    n = −∞
    
    ∑α ∑α
    +∞
    
    +∞
    
    2n
    
    e+ g0n δ J n − m ( + jg 0n ε )
    
    − α 3n ( J n − m ( + jg1nε ) − pn J n − m ( − jg1nε ) )
    
    =
    
    n = −∞
    
    ∑−2 ∑
    +∞
    
    +∞
    
    cn e− g0n δ J n − m ( − jg 0nε ) g 0n cn − g0n δ e J n − m ( − jg 0nε ) 2
    
    n = −∞
    
    2n
    
    e+ g0n δ J n − m ( + jg 0nε ) g 0n − α 3n ( J n − m ( + jg1nε ) + pn J n − m ( − jg1nε ) ) g1n =
    (5.6)
    
    +
    
    n =−∞
    
    Επίσης, χρησιµοποιώντας την ιδιότητα των συναρτήσεων Bessel
    
    68
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    J n ( − x ) = ( − 1) J n ( x )
    n
    
    (5.7)
    
    τότε το σύστηµα γράφεται
    
    n = −∞
    
    ∑α ∑α
    +∞
    
    +∞
    
    2n
    
    e+ g0n δ J n − m ( jg 0n ε )
    
    + α 3n J n − m ( jg1nε ) pn ( −1)
    
    (
    
    n−m
    
    −1
    
    )
    
    =
    
    n = −∞
    
    ∑−2
    +∞
    
    +∞
    
    cn e − g0n δ n −m ( −1) J n − m ( jg 0nε ) g 0n cn e− g0n δ ( −1)
    n−m
    
    n = −∞
    
    2n
    
    e + g0n δ J n − m ( jg 0n ε ) g 0n − α 3n J n − m ( jg1nε ) pn ( −1)
    (5.8)
    
    (
    
    n−m
    
    + 1 g1n =
    
    )
    
    n = −∞
    
    ∑+2
    
    J n − m ( jg 0nε )
    
    Στη συνέχεια θέτοντας
    A n,m = J m − n ( jg 0n ε ) e + g0n δ Bn,m = J m − n ( jg1n ε ) pn ( −1) Cn,m = J m − n ( jg 0n ε ) e + g0n δ g 0n Dn,m = − J m − n ( jg1n ε ) pn ( −1)
    +∞ +∞
    
    (
    
    n −m
    
    −1
    
    )
    (5.9)
    
    (
    
    n−m
    
    + 1 g1n
    
    )
    
    F1n = F2n =
    
    n = −∞ +∞
    
    ∑f
    
    1|n,m
    
    cn e − g0n δ n−m = ∑− ( −1) J n − m ( jg 0nε ) 2 g 0n n = −∞ =
    n = −∞
    
    n = −∞
    
    ∑f
    
    2|n,m
    
    ∑+2
    
    +∞
    
    cn
    
    e − g0n δ ( −1)
    
    n −m
    
    J n − m ( jg 0n ε )
    
    η (5.8) γίνεται τελικά
    
    n = −∞ +∞
    
    ∑α ∑α
    
    +∞
    
    2n
    
    A n,m + α 3n Bn,m = F1n
    (5.10)
    
    n = −∞
    
    2n
    
    Cn,m + α 3n Dn,m = F2n
    
    η οποία ισχύει για κάθε ακέραιο αριθµό m.
    
    69
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    5.2 Αριθµητική Προσαρµογή
    Για να λύσουµε τις εξισώσεις (5.10) θα ακολουθήσουµε µια διαδικασία όµοια µε αυτή που εφαρµόσαµε στο κεφάλαιο 3. Πρώτα από όλα, θεωρούµε πως οι ακέραιοι n και m έχουν πεπερασµένο εύρος.
    −N ≤ n ≤ + N −N ≤ m ≤ + N
    
    (5.11)
    
    Τότε αντί του συστήµατος (5.10), έχουµε το προσεγγιστικό σύστηµα
    
    n=−N +N
    
    ∑α ∑α
    
    +N
    
    2n
    
    A n,m + α 3n Bn,m = F1n
    (5.12)
    
    n=−N
    
    2n
    
    Cn,m + α 3n Dn,m = F2n
    
    το οποίο εκφράζει ένα γραµµικό σύστηµα 4Ν+4 εξισώσεων µε 4Ν+2 αγνώστους. Γράφεται στη µορφή
    
    Q⋅X = F
    όπου
    A B Q= = C D A−N,+N | C N,−N − | | | | | | | | | | | |
    (5.14)
    
    (5.13)
    
     A−N,−N   A−N+1,−N .  .  A+N−1,−N   A+N,−N = −   B−N,−N B  −N+1,−N .  .  B+N−1,−N  B  +N,−N
    
    A−N,−N+1 A N+1,−N+1 − . . A N−1,−N+1 + A+N,−N+1 − B−N,−N+1 B−N+1,−N+1 . . B+N−1,−N+1 B+N,−N+1
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    A−N,+N−1
    
    C N,−N+1 −
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    . . . . . . − . . . . . .
    
    C N,+N−1 − C N+1,+N−1 − . . C N−1,+N−1 + C N,+N−1 + − D N,+N−1 −
    
    A−N+1,+N−1 A N+1,+N − . . . . A+N−1,+N−1 A+N−1,+N A+N,+N−1 − B−N,+N−1 A N,+N + − B−N,+N
    
    C N+1,−N C N+1,−N+1 − − . . . . C N−1,−N C N−1,−N+1 + + C N,−N + − D N,−N − C N,−N+1 + − D N,−N+1 −
    
    C N,+N  − C N+1,+N − . . C N−1,+N + C N,+N + − D N,+N −
    
    B−N+1,+N−1 B−N+1,+N . . . . B+N−1,+N−1 B+N−1,+N B+N,+N−1 B+N,+N
    
    D N+1,−N D N+1,−N+1 − − . . . . D N−1,−N D N−1,−N+1 + + D N,−N + D N,−N+1 +
    
    D N+1,+N−1 D N+1,+N − − . . . . D N−1,+N−1 D N−1,+N + + D N,+N−1 + D N,+N  +
    
    70
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
     α 2|− Ν     α 2|− Ν +1  .   .    α 2|+ Ν −1     α 2|+ Ν  X=  b  2|− N   b 2|− Ν +1    .   . b   2|+ Ν −1  b   2|+ Ν   F1|− Ν     F1|− Ν +1  .   .    F1|+ Ν −1     F1|+ Ν  F=  F  2|− N   F2|− Ν +1    .   . F   2|+ Ν −1  F   2|+ Ν 
    
    (5.15)
    
    (5.16)
    
    Ο πίνακας Q περιγράφει το µη οµογενές γραµµικό σύστηµα. Οι λύσεις του συστήµατος δίνουν τους άγνωστους συντελεστές ανάπτυξης των πεδίων στο εύρος –Ν έως +Ν. Οι συντελεστές µε δείκτες µεγαλύτερους σε απόλυτη τιµή από Ν υποθέτουµε ότι είναι όσοι µε µηδέν. Η λύση του γραµµικού συστήµατος είναι ιδιαίτερα απλή και ταχύτατη, καθώς αρκεί απλώς η αντιστροφή ενός πίνακα και στη συνέχεια µερικοί πολλαπλασιασµοί. Η πολυπλοκότητα έγκειται ουσιαστικά στο οµογενές πρόβληµα όπου πρέπει να βρεθούν µηδενισµοί της ορίζουσας. Από τη στιγµή όµως όπου θα γίνει αυτό, η λύση του µη οµογενούς προβλήµατος είναι πρακτικά άµεση.
    
    71
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    5.3 Matlab
    Παραθέτουµε στη συνέχεια τον κώδικα σε γλώσσα Matlab ο οποίος λύνει το µη οµογενές πρόβληµα. Να τονιστεί ότι σε όλους τους αριθµητικούς υπολογισµούς χρησιµοποιούµε κανονικοποιηµένες τιµές των µεγεθών ως προς την απόσταση. Έτσι, εσωτερικά σε κάθε τµήµα κώδικα, όλα τα µήκη διαιρούνται µε το µήκος κύµατος και όλοι οι κυµατάριθµοι πολλαπλασιάζονται µε το µήκος κύµατος. Αυτό διευκολύνει τις πράξεις διότι δεν εµφανίζονται ιδιαίτερα µεγάλα νούµερα. Η λύση σε αυτό το πρόβληµα σε Matlab περιέχεται στο αρχείο emf.m (electromagnetic field). Το αρχείο αυτό σχηµατίζει τους πίνακες του συστήµατος, το λύνει, και αντικαθιστά τους υπολογισµένους συντελεστές πίσω στους τύπους ανάπτυξης των πεδίων και υπολογίζει τις τιµές τους σε κάθε σηµείο (x,z) του χώρου. Επίσης υπολογίζει το διάνυσµα Poynting και τη γωνία που αυτό σχηµατίζει µε τον οριζόντιο άξονα, διότι η γωνία αυτή είναι η γωνία ακτινοβολίας της ενέργειας. Για να βρεθεί η τιµή του β0 που κυµατοδηγεί η διάταξη, χρησιµοποιείται η συνάρτηση b00, η οποία παίρνει σαν όρισµα τις παραµέτρους του προβλήµατος και ένα εύρος τιµών bmin, bmax για το β0 και αναζητά τη λύση σε αυτό το διάστηµα. Όταν το πλάτος d είναι αρκετά µικρό τότε το β0 θα βρίσκεται πολύ κοντά στην τιµή k0η0, οπότε µπορούµε µε κάποια σιγουριά να ορίσουµε το διάστηµα αναζήτησης εκεί κοντά. Να τονιστεί ότι αυτή η λύση δεν ισχύει για όλες τις τιµές των παραµέτρων! Η ενδεδειγµένη λύση είναι πρώτα να εντοπίζεται µε γραφικό τρόπο το σηµείο που βρίσκεται το β0 και στη συνέχεια να χρησιµοποιείται η emf και η b00 για την αυτόµατη και ακριβή εύρεση της τιµής. Οι κώδικες για το τµήµα αυτό αναφέρονται στο παράρτηµα 1.
    
    72
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    5.4 Συµπεράσµατα
    Ας δούµε τώρα τη µορφή του ηλεκτρικού πεδίου για διάφορες τιµές των παραµέτρων. Θυµίζουµε ότι το πλάτος d θα είναι αρκετά µικρότερο από το µήκος κύµατος ώστε πάντοτε µόνο ένας ρυθµός να “χωράει” στον κυµατοδηγό. Καταρχάς για Μ=0, δηλαδή για µηδενική ένταση περιοδικής ασυνέχειας.
    
    Σχήµα 5.1 Το κανονικοποιηµένο ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο για µηδενικό πλάτος ασυνέχειας, Μ=0. Ανεξάρτητα από το ποια είναι η περίοδος της περιοδικότητας, η ισχύς είναι συγκεντρωµένη πάντοτε στο εσωτερικό του κυµατοδηγού. Έχουµε καθαρή κυµατοδήγηση, ακριβώς όπως σε έναν απλό κυµατοδηγό πλάτους d.
    
    Παρατηρούµε πως στην περίπτωση αυτή η περιοδικότητα δεν επηρεάζει καθόλου την κατανοµή ισχύος στο χώρο. Ανεξάρτητα από την τιµή της χωρικής περιόδου, η ισχύς είναι συγκεντρωµένη στο εσωτερικό του διηλεκτρικού κυµατοδηγού και δεν διαφεύγει στον εξωτερικό χώρο. Εφόσον δεν υπάρχει ασυνέχεια, δεν υπάρχει λόγος να διαταραχθεί η ισχύς. Η κατανοµή αυτή είναι όµοια µε την κατανοµή ισχύος του απλού κυµατοδηγού.
    
    73
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Στη συνέχεια θέτουµε το δείκτη διαµόρφωσης της περιοδικότητας στην τιµή Μ=0.5. ∆ιαφορετικές τιµές απλώς κάνουν λιγότερο ή περισσότερο έντονα τα φαινόµενα διαταραχών και ακτινοβολίας., τα οποία πάντως εµφανίζονται πάντοτε, το πολύ πολύ σε άλλο µήκος κύµατος. Εποµένως θα θέσουµε το δείκτη διαµόρφωσης σε αυτή την αρκετά έντονη τιµή, την οποία θα διατηρήσουµε µέχρι τέλους, ώστε να συµπεριλάβουµε όλες τις συµπεριφορές. Πρώτα θα δοκιµάσουµε τιµές για L<<λ, δηλαδή µήκος κύµατος πολύ µικρότερο από τη χωρική περίοδο.
    
    Σχήµα 5.2 Το κανονικοποιηµένο ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο για Μ=0.5 και L<<λ. Όταν το µήκος κύµατος είναι µεγάλο, το κύµα δεν βλέπει τις εναλλαγές της περιοδικότητας και θεωρεί ότι βρίσκεται σε απλό, ιδανικό κυµατοδηγό. Η ισχύς είναι συγκεντρωµένη στο εσωτερικό του κυµατοδηγού.
    
    Εδώ παρατηρούµε πως και πάλι η ισχύς είναι συγκεντρωµένη µέσα στο διηλεκτρικό κυµατοδηγό. Αυτό είναι λογικό διότι το κύµα δε βλέπει τις ασυνέχειες στη πάνω πλευρά του κυµατοδηγού, και συµπεριφέρεται σαν να βρίσκεται σε απλό κυµατοδηγό µε επίπεδες επιφάνειες.
    
    74
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Στη συνέχεια δοκιµάζουµε για L~<λ.
    
    Σχήµα 5.3 Το κανονικοποιηµένο ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο για Μ=0.5 και L~<λ. Το κύµα εµποδίζεται από τις ασυνέχειες και αναγκάζεται µερικώς να εξέλθει από τον κυµατοδηγό.
    
    Συνεχίζουµε για L~λ.
    
    75
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Σχήµα 5.4 Το κανονικοποιηµένο ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο για Μ=0.5 και L~λ. Το κύµα µερικώς βλέπει τις ασυνέχειες, συγκρούεται µε αυτές και εξέρχεται από τον κυµατοδηγό.
    
    76
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Σχήµα 5.5 Το κανονικοποιηµένο ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο για Μ=0.5 και L~λ. Το κύµα µερικώς βλέπει τις ασυνέχειες, συγκρούεται µε αυτές και εξέρχεται από τον κυµατοδηγό. Η ισχύς διαφεύγει στον έξω χώρο.
    
    77
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    ∆οκιµάζουµε επίσης για µικρό µήκος κύµατος να δούµε τι συµβαίνει, δηλαδή για Μ=0.5 και L>>λ.
    
    Σχήµα 5.6 Το κανονικοποιηµένο ηλεκτρικό πεδίο σε όλο το χώρο για Μ=0.5 και L>>λ. Η επίδραση της ασυνέχειας στο κύµα είναι πλήρης. Στα σηµεία όπου η επιφάνεια µπαίνει στον κυµατοδηγό, το κύµα πιέζεται και αναγκάζεται η ισχύς να ακτινοβοληθεί στον εξωτερικό χώρο.
    
    Παρατηρούµε πως σε αυτή την περίπτωση η επίδραση της ασυνέχειας πάνω στο ηλεκτροµαγνητικό κύµα είναι πλήρης. Στα σηµεία όπου η επιφάνεια µπαίνει µέσα στον κυµατοδηγό, το κύµα αναγκάζεται να εξέλθει από αυτόν. ∆εν πρέπει να παρεξηγηθεί το γεγονός ότι η ισχύς φαίνεται να φεύγει κάθετα στον κυµατοδηγό, δηλαδή υπό γωνία 90ο. Αυτή τη στιγµή κοιτάµε µόνο το κοντινό πεδίο ακτινοβολίας, το οποίο όµως δε µας δίνει ακριβή στοιχεία για τη συµπεριφορά του κύµατος. Άλλωστε τυχόν ανίχνευση της ακτινοβολούµενης ενέργειας θα συµβεί µόνο στο µακρινό πεδίο. Στο επόµενο σχήµα εξετάζουµε τη µορφή του πεδίου για αποστάσεις πολύ µεγαλύτερες από το µήκος κύµατος και το πλάτος του διηλεκτρικού κυµατοδηγού.
    
    78
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Σχήµα 5.7 Το µαγνητικό πεδίο (µακρινό πεδίο) σε όλο το χώρο για Μ=0.5 και L>>λ. Φαίνεται µήκος του κυµατοδηγού ίσο µε 4 περιόδους. Στα σηµεία όπου υπάρχει το κοίλωµα του ηµιτόνου στη επιφάνεια, η ενέργεια ακτινοβολείται υπό γωνία, η οποία εξαρτάται από το λόγο λ/L.
    
    Παρατηρούµε πως στο µακρινό πεδίο βλέπουµε πως η ενέργεια ακτινοβολείται υπό γωνία προς τα έξω. Η ενέργεια διαφεύγει στα σηµεία όπου το υπάρχει το κοίλωµα του ηµιτόνου. Η γωνία υπό την οποία φεύγει η ενέργεια εξαρτάται από το λόγο λ/L, δηλαδή από τη συχνότητα. Για τιµές όπου ισχύει λ/L<<1, το παραπάνω φαινόµενο δε συµβαίνει και η ενέργεια παραµένει συγκεντρωµένη µέσα και γύρω από τον κυµατοδηγό. Από τη στιγµή που αρχίζει να ισχύει λ>L, εµφανίζεται µια γωνία ακτινοβολίας µικρή αρχικά, η οποία όµως µεγαλώνει σταδιακά για λ>>L.
    
    Which is the missing letter in the following sequence? AAAA?AAAAAA Hint: The answer is not Α.
    
    79
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    Παράρτηµα 1 Εδώ αναφέρονται αναλυτικά οι κώδικες οι οποίοι περιγράφονται στα κεφάλαια και οι οποίοι χρησιµοποιούνται για την επίλυση των αριθµητικών υπολογισµών.
    
    % The function DispersionRelation(k0,b0,N,d,e,L) calculates the determinant of the problem. % The inputs are: % 1.The propagation factor b0 % 2.The frequency f desired % 3.The extend of the summations (which also specifies the length of the determinant) % 4.The width of the slab % 5.The width of the sinusoidal top surface % 6.The period of the sinusoidal top surface function result=DispersionRelation(k0,b0,N,d,e,L) %Wavelength lamda=2*pi./k0; % Propagation vector [Normalized with respect to wavelength] k0=2.*pi; %Propagation factor [Normalized with respect to wavelength] b0=b0.*lamda; %Diffraction Coefficients n0=1.0; %Diffraction Coefficient outside the waveguide n1=2.0; %Diffraction Coefficient inside the waveguide %Width of the waveguide %d=0.001; d=d./lamda; %[Normalized] %Width of the discontinuity %e=0.001; e=e./lamda; %[Normalized] %Period of the discontinuity %L=0.001; L=L./lamda; %[Normalized] if e>d./2 disp('ZONK! The geometrical Parameters are incorrect!'); end
    
    %Propagation Constants g0=sqrt((b0+2.*pi./L.*(-N:N)).^2-(k0.*n0).^2); g1=sqrt((b0+2.*pi./L.*(-N:N)).^2-(k0.*n1).^2); %Parameter p=exp(2.*g1.*d).*((g0+g1)./(g0-g1)); for n=-N:N for m=-N:N
    
    %Outside %Inside
    
    80
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    A(n+N+1,m+N+1)=besselj(m-n,g0(m+N+1)*e*i); B(n+N+1,m+N+1)=besselj(m-n,g1(m+N+1)*e*i).*(p(m+N+1)*(-1).^(m-n)-1); C(n+N+1,m+N+1)=g0(m+N+1)*besselj(m-n,g0(m+N+1)*e*i); D(n+N+1,m+N+1)=-g1(m+N+1).*besselj(m-n,g1(m+N+1)*e*i).*(p(m+N+1).*(-1).^(mn)+1); end end Q=[ A B; C D]; result=Q;
    
    You have been a single-cell organism for 30 minutes in your life.
    
    81
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    %The function index=b0search(k0,bmin,bmax,L1,N,d,M,L) %searches for the propagation factor b0 that corresponds %to the propagation vector k0. b0 is considered a real number % %k0 : The propagation vector k0 %bmin : The lowest value of b0 under consideration %bmax : The highest value of b0 under consideration %L1 : The number of values of b0 in the interval [bmin,bmax] %N : The extend of the summations %d : The width of the slab %M : The modulated width of the sinusoidal top surface, 0 0 ; index=(b(find(Q2)))';
    
    There are at least 9.000.000 people who have birthday the same day as you.
    
    82
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    %the function result=b00(k0,bmin,bmax,N,d,M,L) %calculates the propagation factor b0 in the interval [bmin,bmax] % %k0 :The frequency desired %bmin :The lower part of the interval %bmax :The higher part of the interval %N :The extend of the summations %d :The width of the slab %M :The modulated width of the sinusoidal top surface %L :The period of the sinusoidal top surface function result=b00(k0,bmin,bmax,N,d,M,L) e=M.*d./2; result=fminbnd('log10(rcond(DispersionRelation(P1,x,P2,P3,P4,P5)))',bmin,bmax,[] ,k0,N,d,e,L);
    
    There are just more than 200 last names in entire China.
    
    83
    
    Μελέτη του φαινοµένου Smith - Purcell
    
    Ευθύµιος Κάλλος
    
    %The function emf(k0,bmin,bmax,N,d,M,L,delta) %is supposed to calculate and plot the EM field at the slab. % %k0 :The frequency desired %bmin : The lowest value of b0 under consideration %bmax : The highest value of b0 under consideration %N :The extent of the summations %d :The width of the slab %M :The modulated width of the sinusoidal top surface, 0d./2) | (delta<=e./2) disp('ZONK!!! The geometrical parameters are incorrect.'); end disp('Searching propagation factor b0...'); %Propagation factor b0=b00(k0,bmin,bmax,N,d,M,L); disp(b0); %Propagation vector k0=2.*pi; b0=b0.*lamda; d=d./lamda; e=e./lamda; L=L./lamda; delta=delta./lamda; [Normalized] %[Normalized] %[Normalized] %[Normalized] %[Normalized] %[Normalized]
    
    %Speed of the source line v=0.999; %With respect to the speed of light (0
    
    

        

          
 
          
            Add Comment
          
          
    
          

              
                
     
                 
    
                
                    
                                                                              
                    
                    
              
                    
          
          
          
            To add a comment, you need to 
                login or 
    
                signup (you can signup without leaving this page)